Tóm tắt nội dung đề thi (Trang 1): Đề thi học sinh giỏi Toán 12 tỉnh Quảng Trị năm học 2024 - 2025 (Thời gian 180 phút) tập trung kiểm tra tư duy toàn diện với các bài toán thực tế chuyển động tối ưu quãng đường, bài toán lập kế hoạch sản xuất tìm lợi nhuận tối đa, ứng dụng đạo hàm trong chuyển động chất điểm và kiến thức xác suất - tổ hợp tô màu đa giác.
CÁC CÂU HỎI TRONG ĐỀ THI
Câu 1. (2,0 điểm)
An và Bình cùng sống trong một căn nhà trên con đường dọc bờ biển. An làm việc ở một hòn đảo du lịch cách đường bờ biển \(3\text{ km}\). Hằng ngày, sau giờ làm An di chuyển bằng cáp treo từ đảo về ga cáp treo nằm trên đường bờ biển tại vị trí gần hòn đảo nhất, sau đó đón xe buýt về nhà cách ga cáp treo \(14\text{ km}\). Một ngày, do sự cố cáp treo nên An phải di chuyển bằng thuyền về bờ biển và nhờ Bình từ nhà đến đón tại bến thuyền. Biết rằng, thuyền và Bình xuất phát cùng thời điểm và khi thuyền đưa An về đến bến cũng là lúc Bình vừa đến; tốc độ của thuyền là \(15\text{ km/h}\) còn Bình di chuyển với tốc độ \(30\text{ km/h}\); bến thuyền nằm trên đường bờ biển và quãng đường từ nhà An đến bến thuyền ngắn hơn quãng đường đến ga cáp treo.
Giả sử đường bờ biển là một đường thẳng và thuyền di chuyển trên một đường thẳng. Hãy tính khoảng cách giữa ga cáp treo và bến thuyền.
Câu 2. (2,5 điểm)
Mỗi tuần, một tổ sản xuất được nhà máy cung cấp tối đa \(22\text{ kg}\) nguyên liệu X và \(30\text{ kg}\) nguyên liệu Y để sản xuất \(10\) sản phẩm gồm các loại A, B và C. Biết rằng, để sản xuất một sản phẩm loại A cần \(3\text{ kg}\) nguyên liệu X và \(1\text{ kg}\) nguyên liệu Y; sản xuất một sản phẩm loại B cần \(1\text{ kg}\) nguyên liệu X và \(3\text{ kg}\) nguyên liệu Y; sản xuất một sản phẩm loại C cần \(2\text{ kg}\) nguyên liệu X và \(4\text{ kg}\) nguyên liệu Y. Tiền công sản xuất mỗi sản phẩm loại A, B, C lần lượt là \(1,2\) triệu đồng, \(1,3\) triệu đồng và \(1,5\) triệu đồng. Hỏi trong một tuần, tổ công nhân cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm mỗi loại để số tiền công nhận được là lớn nhất?
Câu 3. (3,0 điểm)
Xét một chất điểm chuyển động trên một trục số thẳng đứng, chiều dương hướng lên trên. Giả sử vị trí \(s(t)\) (mét) của chất điểm trên trục số đã chọn tại thời điểm \(t\) (giây) được cho bởi công thức:
\[ s(t) = -t^3 + 9t^2 - 15t + 2, \quad t \ge 0 \]a) Hỏi trong khoảng thời gian nào thì chất điểm chuyển động lên trên?
b) Trong \(6\) giây đầu tiên chất điểm di chuyển được quãng đường bao nhiêu mét?
Câu 4. (3,5 điểm)
1. Tổ I có \(15\) học sinh, trong đó có \(7\) học sinh nam và \(8\) học sinh nữ. Tổ II có \(14\) học sinh, trong đó có \(5\) học sinh nam và \(9\) học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên mỗi tổ \(3\) học sinh. Tính xác suất để mỗi tổ đều có ít nhất một học sinh nam được chọn.
2. Tô màu tất cả các đỉnh của đa giác lồi \(A_1A_2...A_{10}\) (\(10\) đỉnh) bằng hai màu xanh và đỏ (mỗi đỉnh tô một màu). Hỏi có bao nhiêu cách tô màu sao cho không có hai đỉnh kề nhau nào của đa giác có cùng màu đỏ?