I. TRẮC NGHIỆM (5,0 điểm)
Hãy chọn một phương án trả lời đúng cho mỗi câu sau rồi ghi vào giấy làm bài.
Câu 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc nhất hai ẩn?
A. \(2x - y = 1\).
B. \(2x^3 - 6 = 0\).
C. \(5xy - 3z = -3\).
D. \(x - 3y^2 = 3\).
Câu 2: Hai con thuyền \(P\) và \(Q\) cách nhau \(300\text{ m}\) và thẳng hàng với chân \(B\) của tháp hải đăng ở trên bờ biển. Từ \(P\) và \(Q\) người ta nhìn thấy tháp hải đăng dưới các góc \(\widehat{BPQ} = 14^\circ\) và \(\widehat{BQA} = 42^\circ\). Đặt \(h = AB\) là chiều cao của tháp hải đăng.
Khi đó chiều cao của tháp hải đăng (làm tròn đến hàng đơn vị) là:
A. \(103\text{ m}\).
B. \(103,5\text{ m}\).
C. \(104\text{ m}\).
D. \(103,4\text{ m}\).
Câu 3: Hệ phương trình nào sau đây không phải là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn?
A. \(\begin{cases} 3x + 2y = 5 \\ 6x - 4y = 2 \end{cases}\)
B. \(\begin{cases} 2x = -4 \\ 2x + 3y = 6 \end{cases}\)
C. \(\begin{cases} 6y = 3 \\ -x + 4y = -3 \end{cases}\)
D. \(\begin{cases} 2x - 5y = 1 \\ 0x + 0y = 3 \end{cases}\)
Câu 4: Cặp số nào sau đây là nghiệm của hệ phương trình \(\begin{cases} 2x - y = 3 \\ x + y = 3 \end{cases}\)?
A. \((-2; 0)\).
B. \((0; -2)\).
C. \((2; 1)\).
D. \((0; 2)\).
Câu 5: Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), độ dài cạnh \(AC\) là:
A. \(BC \cdot \sin C\).
B. \(AB \cdot \sin B\).
C. \(BC \cdot \sin B\).
D. \(BC \cdot \cos B\).
Câu 6: Phương trình \(3x - 2y = 5\) có nghiệm là cặp số:
A. \((1; -1)\).
B. \((-5; 5)\).
C. \((5; -5)\).
D. \((1; 1)\).
Câu 7: Đường tròn \((O; 5\text{cm})\). Đường kính của đường tròn đó có độ dài:
A. \(5\text{cm}\).
B. \(10\text{cm}\).
C. \(25\text{cm}\).
D. \(2,5\text{cm}\).
Câu 8: Với giá trị nào của \(k\) thì phương trình \((k-2)x + y = 1\) có một nghiệm là \((2;1)\)?
A. \(k = -1\).
B. \(k = 3\).
C. \(k = 1\).
D. \(k = 2\).
Câu 9: Nghiệm của phương trình \((x - 1)(x - 2) = 0\) là:
A. \(x = 1\) và \(x = 2\).
B. \(x = 1\).
C. \(x = 2\).
D. \(x = 1\) hoặc \(x = 2\).
Câu 10: Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\). Hệ thức nào sau đây không đúng?
A. \(\sin C = \cos B\).
B. \(\tan C = \cot B\).
C. \(\tan C = \cot A\).
D. \(\cos C = \sin B\).
Câu 11: Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), biết \(AB = 3\text{cm}\), \(BC = 6\text{cm}\) thì góc \(C\) bằng:
A. \(60^\circ\).
B. \(50^\circ\).
C. \(45^\circ\).
D. \(30^\circ\).
Câu 12: Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền của tam giác vuông có góc nhọn \(\alpha\) được gọi là:
A. \(\sin \alpha\).
B. \(\tan \alpha\).
C. \(\cos \alpha\).
D. \(\cot \alpha\).
Câu 13: Giá trị biểu thức \(A = 2026 \cdot \sin^2 25^\circ + 2026 \cdot \sin^2 65^\circ\) bằng:
A. \(2023\).
B. \(2026\).
C. \(2025\).
D. \(2024\).
Câu 14: Tập nghiệm của phương trình \(0x + 2y = 6\) được biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ bởi:
A. đường thẳng \(x = 6\).
B. đường thẳng \(x = 3\).
C. đường thẳng \(y = 6\).
D. đường thẳng \(y = 3\).
Câu 15: Điều kiện xác định của phương trình \(\frac{1}{x+1} = 1 + \frac{1}{x-2}\) là:
A. \(x \neq 1, x \neq 2\).
B. \(x \neq 1, x \neq -2\).
C. \(x \neq -1, x \neq -2\).
D. \(x \neq -1, x \neq 2\).
Câu 16: Tính chiều cao \(AH\) với các số liệu cho trên hình. Kết quả nào sau đây là đúng?
A. \(AH = 4\).
B. \(AH = 8\).
C. \(AH = 2\).
D. \(AH = 3\).
Câu 17: Phương trình \((x-2)(x+3)=0\) có bao nhiêu nghiệm?
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. vô nghiệm.
Câu 18: Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là \(48\text{ m}\). Nếu tăng chiều rộng lên 4 lần và chiều dài lên 3 lần thì chu vi của khu vườn mới là \(162\text{ m}\). Diện tích ban đầu của khu vườn trên là:
A. \(153\text{ m}^2\).
B. \(135\text{ m}^2\).
C. \(15,9\text{ m}^2\).
D. \(19,5\text{ m}^2\).
Câu 19: Hệ phương trình \(\begin{cases} x + 5y = 1 \\ 2x + my = 6 \end{cases}\) có nghiệm duy nhất khi:
A. \(m > 10\).
B. \(m = 10\).
C. \(m \neq 5\).
D. \(m \neq 10\).
Câu 20: Nghiệm tổng quát của phương trình \(2x - 4y + 12 = 0\) là:
A. \(\begin{cases} x = 2y + 3 \\ y \in \mathbb{R} \end{cases}\)
B. \(\begin{cases} x \in \mathbb{R} \\ y = \frac{1}{2}x - 3 \end{cases}\)
C. \(\begin{cases} x = 2y + 6 \\ y \in \mathbb{R} \end{cases}\)
D. \(\begin{cases} x \in \mathbb{R} \\ y = \frac{1}{2}x + 3 \end{cases}\)
II. TỰ LUẬN (5,0 điểm)
Bài 1: (1,5 điểm) Giải phương trình và hệ phương trình sau:
a) \(\begin{cases} 2x - y = 4 \\ x + 2y = -3 \end{cases}\)
b) \((x - 1)(2x + 6) = 0\)
c) \(\frac{x+5}{x-5} - \frac{x-5}{x+5} = \frac{20}{x^2 - 25}\)
Bài 2: (1,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
Hai người cùng làm chung một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm trong 3 giờ và người thứ hai làm trong 6 giờ thì cả hai người làm được \(\frac{1}{4}\) công việc. Hỏi mỗi người làm một mình trong bao lâu thì xong?
Bài 3: (2,0 điểm)
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) (\(AB < AC\)), đường cao \(AH\).
a) Giả sử: \(AB = 5\text{cm}\), \(AC = 12\text{cm}\). Giải tam giác \(ABC\) (góc làm tròn đến phút).
b) Kẻ \(HD, HE\) lần lượt vuông góc với \(AB, AC\). Chứng minh rằng: \(AD \cdot AB = AH^2\)
c) Chứng minh 4 điểm \(A, D, H, E\) cùng thuộc một đường tròn.
Bài 4: (0,5 điểm) Để loại bỏ \(x\%\) một loại tảo độc khỏi một hồ nước, người ta ước tính chi phí cần bỏ ra là: \(C(x) = \frac{50x}{100 - x}\) (triệu đồng), với \(0 \le x < 100\). Nếu bỏ ra 450 triệu đồng, người ta có thể loại bỏ được bao nhiêu phần trăm loại tảo độc đó?