TÓM TẮT ĐỀ THI VÀ ĐÁP ÁN
Tài liệu gồm đề thi và hướng dẫn chấm kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp trường môn Toán 12 năm học 2026 - 2027 của Trường THPT Hoàng Văn Thụ (Sở GD&ĐT Lạng Sơn). Cấu trúc đề thi gồm 05 câu hỏi tự luận phân hóa cao với thời gian làm bài 180 phút, bao gồm các mảng kiến thức: Cực trị hàm số và ứng dụng tối ưu hóa lợi nhuận, phương trình - hệ phương trình đại số & lượng giác, mô hình tổng hợp lực trong không gian, hình học không gian (thể tích, góc) và bài toán xác suất tổ hợp chia quà.
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 12
Câu 1 (5,0 điểm).
a) Cho hàm số \(y = 2x^3 - 3x^2 - 1\) có đồ thị \((C)\). Gọi \(A, B\) là hai điểm cực trị của \((C)\). Tính khoảng cách từ điểm \(I(1; 3)\) đến đường thẳng \(AB\).
b) Một cửa hàng bán na Chi Lăng với giá bán mỗi kg quả là 50.000 đồng. Với giá bán này thì một ngày cửa hàng chỉ bán được khoảng 40 kg quả. Qua thăm dò thị trường cửa hàng nhận thấy nếu mỗi kg quả giảm 1.000 đồng thì số na bán được sẽ tăng thêm 10 kg. Xác định giá bán để cửa hàng đó thu được lợi nhuận lớn nhất, biết rằng giá nhập về ban đầu mỗi kg quả là 30.000 đồng.
Câu 2 (6,0 điểm).
a) Giải phương trình \(\sqrt{x+2} + \sqrt{1-x} = 1 + \sqrt{2+x-x^2}\).
b) Hàng ngày, mực nước của một con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu \(h\) (m) của mực nước trong kênh tính theo thời gian \(t\) (giờ) trong một ngày \((0 \le t \le 24)\) cho bởi công thức \(h = 3\cos\left(\frac{\pi t}{8} + \frac{\pi}{4}\right) + 12\). Hỏi vào thời điểm nào trong ngày, mực nước của con kênh đạt độ sâu lớn nhất?
c) Giải hệ phương trình: \(\begin{cases} x^3 - y^3 = 35 \\ 2x^2 + 3y^2 = 4x - 9y \end{cases}\).
Câu 3 (2,0 điểm).
Ba lực \(\vec{F}_1, \vec{F}_2, \vec{F}_3\) cùng tác động vào một vật, có các phương đôi một vuông góc và có độ lớn lần lượt là \(|\vec{F}_1| = 100\text{ N}, |\vec{F}_2| = 100\text{ N}, |\vec{F}_3| = 100\sqrt{2}\text{ N}\). Tính độ lớn hợp lực của ba lực trên.
Câu 4 (5,0 điểm).
Cho hình chóp tứ giác \(S.ABCD\) có \(ABCD\) là hình thoi cạnh \(a\), tâm \(O\). Đường thẳng \(SO\) vuông góc với mặt phẳng \((ABCD)\), \(SB = 3a\) và \(\widehat{BAD} = 60^\circ\). Gọi \(M, N\) lần lượt là các điểm thuộc các cạnh \(BC\) và \(SA\) sao cho \(BM = \frac{1}{2}MC\), \(SA = 3SN\).
a. Tính thể tích khối chóp \(S.MND\) theo \(a\).
b. Gọi \(\varphi\) là góc giữa đường thẳng \(MN\) và mặt phẳng \((SBD)\). Tính \(\sin\varphi\).
Câu 5 (2,0 điểm).
Người ta dùng 18 cuốn sách bao gồm 7 cuốn sách Toán, 6 cuốn sách Lý và 5 cuốn sách Hóa (các cuốn sách cùng loại thì giống nhau) để làm phần thưởng cho 9 học sinh, mỗi học sinh nhận được 2 cuốn sách khác thể loại (không tính thứ tự các cuốn sách). Tính xác suất để hai học sinh \(A\) và \(B\) nhận được phần thưởng giống nhau.
HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN CHI TIẾT
Câu 1 (5,0 điểm):
a) Ta có \(y' = 6x^2 - 6x = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = 1\).
Hai điểm cực trị: \(A(0; -1)\) và \(B(1; -2)\).
Phương trình đường thẳng \(AB: x + y + 1 = 0\).
Khoảng cách từ \(I(1; 3)\) đến \(AB\): \[d(I, AB) = \frac{|1 + 3 + 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{5}{\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{2}\]
b) Gọi \(x\) là giá bán thực tế mỗi kg quả (đồng), \(30.000 < x \le 50.000\).
Số kg na bán tăng thêm là \(\frac{50.000 - x}{1.000} \cdot 10 = \frac{50.000 - x}{100}\).
Tổng số na bán được là: \(40 + \frac{50.000 - x}{100} = 540 - \frac{x}{100}\) (kg).
Lợi nhuận thu được: \[L(x) = \left(540 - \frac{x}{100}\right)(x - 30.000) = -\frac{1}{100}x^2 + 840x - 16.200.000\]
Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại \(x = \frac{-840}{2 \cdot (-0,01)} = 42.000\) (đồng).
Vậy giá bán 42.000 đồng/kg cho lợi nhuận lớn nhất.
Câu 2 (6,0 điểm):
a) Điều kiện: \(-2 \le x \le 1\).
Đặt \(t = \sqrt{x+2} + \sqrt{1-x} > 0 \Rightarrow t^2 = 3 + 2\sqrt{2+x-x^2}\).
Phương trình trở thành: \(t = 1 + \frac{t^2 - 3}{2} \Leftrightarrow t^2 - 2t - 1 = 0 \Leftrightarrow t = 1 + \sqrt{2}\) (do \(t > 0\)).
Suy ra \(\sqrt{2+x-x^2} = \sqrt{2} \Leftrightarrow x^2 - x = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = 1\) (thỏa mãn).
b) Ta có \(h = 3\cos\left(\frac{\pi t}{8} + \frac{\pi}{4}\right) + 12 \le 3 \cdot 1 + 12 = 15\).
Mực nước đạt độ sâu lớn nhất khi \(\cos\left(\frac{\pi t}{8} + \frac{\pi}{4}\right) = 1 \Leftrightarrow \frac{\pi t}{8} + \frac{\pi}{4} = k2\pi \Leftrightarrow t = 16k - 2\).
Vì \(0 \le t \le 24\) nên chọn \(k = 1 \Rightarrow t = 14\) (giờ).
c) Hệ phương trình có nghiệm duy nhất \((x; y) = (3; -2)\).
Câu 3 (2,0 điểm):
Dựng hình hộp chữ nhật có ba cạnh tương ứng với 3 vectơ lực \(\vec{F}_1, \vec{F}_2, \vec{F}_3\).
Độ lớn hợp lực \(\vec{F} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3\) là: \[|\vec{F}| = \sqrt{|\vec{F}_1|^2 + |\vec{F}_2|^2 + |\vec{F}_3|^2} = \sqrt{100^2 + 100^2 + (100\sqrt{2})^2} = 200\text{ N}\]
Câu 4 (5,0 điểm):
a) Thể tích khối chóp \(S.MND\): \[V_{S.MND} = \frac{a^3\sqrt{35}}{24}\]
b) Gọi \(\varphi\) là góc giữa \(MN\) và \((SBD)\). Ta tính được: \[\sin\varphi = \frac{\sqrt{105}}{35}\]
Câu 5 (2,0 điểm):
Gọi \(x, y, z\) lần lượt là số học sinh nhận các bộ quà (Toán-Lý), (Toán-Hóa), (Lý-Hóa).
Ta có hệ: \(\begin{cases} x + y = 7 \\ x + z = 6 \\ y + z = 5 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = 4 \\ y = 3 \\ z = 2 \end{cases}\)
Tổng số cách phát quà cho 9 học sinh là \(C_9^2 \cdot C_7^2 = 36\) kiểu cặp học sinh được chọn ngẫu nhiên.
Xác suất để 2 học sinh \(A\) và \(B\) nhận được quà giống nhau là: \[P = \frac{C_4^2 + C_3^2 + C_2^2}{C_9^2} = \frac{6 + 3 + 1}{36} = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}\]