ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Bài 1 (3,0 điểm):
Cho hai số thực dương \(a, b\) thỏa mãn \((a + 2)(b + 2) = 2026\). Tính giá trị của biểu thức:
\[M = \frac{\sqrt{(a^2 + 4a + 2030)(b^2 + 4b + 2030)}}{a + b + 4}\]Bài 2 (5,0 điểm):
a) Cho phương trình \(x^2 - (2m - 1)x + m^2 - 4 = 0\) (\(m\) là tham số). Tìm \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_1, x_2\) thỏa mãn \(|x_1 - x_2| = 4\).
b) Giải phương trình: \(\sqrt{3x + 1} - \sqrt{6 - x} + 3x^2 - 14x - 8 = 0\).
Bài 3 (4,0 điểm):
a) Cho số thực dương \(x\). Chứng minh rằng: \[\frac{1}{2x^2 + 1} \ge -\frac{4}{9}x + \frac{7}{9}\]
b) Cho các số thực dương \(a, b, c\) thỏa mãn \(a + b + c = 3\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \[P = \frac{2025a^2}{2a^2 + 1} + \frac{2025b^2}{2b^2 + 1} + \frac{2025c^2}{2c^2 + 1}\]
Bài 4 (6,0 điểm):
Cho tam giác \(ABC\) nhọn (\(AB < AC\)) có hai đường cao \(BD\) và \(CE\) cắt nhau tại \(H\) (\(D \in AC, E \in AB\)). Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\) và \(I\) là trung điểm của \(AH\), \(F\) là giao điểm của \(AH\) và \(BC\).
a) Chứng minh bốn điểm \(I, E, M, D\) cùng thuộc một đường tròn và \(ME\) là tiếp tuyến của đường tròn đường kính \(AH\).
b) Đường thẳng \(ED\) cắt đường thẳng \(BC\) tại \(K\), \(MI\) cắt \(ED\) tại \(P\). Chứng minh rằng \(MP \cdot MI = ME^2\) và \(KB \cdot FC = KC \cdot FB\).
Bài 5 (2,0 điểm):
Gọi \(T\) là tập hợp các số nguyên dương có thể biểu diễn được dưới dạng \(x^2 + 2y^2\) với \(x, y\) là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu \(m\) và \(n\) là hai phần tử của tập hợp \(T\) thì \(mn\) cũng là một phần tử của tập hợp \(T\).
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI THAM KHẢO
Bài 1.
Từ \((a + 2)(b + 2) = 2026\) ta có:
\[a^2 + 4a + 2030 = (a + 2)^2 + 2026 = (a + 2)^2 + (a + 2)(b + 2) = (a + 2)(a + b + 4)\]Tương tự: \[b^2 + 4b + 2030 = (b + 2)(a + b + 4)\]
Suy ra:
\[(a^2 + 4a + 2030)(b^2 + 4b + 2030) = (a + 2)(b + 2)(a + b + 4)^2 = 2026(a + b + 4)^2\]Vì \(a, b > 0\) nên \(a + b + 4 > 0\), do đó:
\[M = \frac{\sqrt{2026(a + b + 4)^2}}{a + b + 4} = \frac{\sqrt{2026}(a + b + 4)}{a + b + 4} = \sqrt{2026}\]Vậy \(M = \sqrt{2026}\).
Bài 2.
a) Ta có \(\Delta = (2m - 1)^2 - 4(m^2 - 4) = 17 - 4m\).
Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi \(\Delta > 0 \Leftrightarrow m < \frac{17}{4}\).
Theo định lí Vi-ét: \(x_1 + x_2 = 2m - 1\), \(x_1 x_2 = m^2 - 4\).
Ta có:
\[|x_1 - x_2| = 4 \Leftrightarrow (x_1 - x_2)^2 = 16 \Leftrightarrow (x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2 = 16\]\[\Leftrightarrow (2m - 1)^2 - 4(m^2 - 4) = 16 \Leftrightarrow 17 - 4m = 16 \Leftrightarrow m = \frac{1}{4} \text{ (thỏa mãn).}\]Vậy \(m = \frac{1}{4}\).
b) Điều kiện: \(-\frac{1}{3} \le x \le 6\).
Phương trình tương đương:
\[(\sqrt{3x + 1} - 4) - (\sqrt{6 - x} - 1) + 3x^2 - 14x - 5 = 0\]\[\Leftrightarrow \frac{3x - 15}{\sqrt{3x + 1} + 4} + \frac{x - 5}{\sqrt{6 - x} + 1} + (x - 5)(3x + 1) = 0\]\[\Leftrightarrow (x - 5)\left(\frac{3}{\sqrt{3x + 1} + 4} + \frac{1}{\sqrt{6 - x} + 1} + 3x + 1\right) = 0\]Với \(-\frac{1}{3} \le x \le 6\) thì \(3x + 1 \ge 0\) nên biểu thức trong ngoặc luôn dương.