Đề kiểm tra giữa học kì I môn Toán lớp 9 năm học 2026 – 2027 của trường TH&THCS Lê Quý Đôn (UBND Xã Sóc Sơn). Đề thi có thời lượng 90 phút, bao gồm 5 câu tự luận kiểm tra toàn diện các kiến thức trọng tâm: giải phương trình quy về bậc nhất, giải bất phương trình, hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn, bất đẳng thức, giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình/bất phương trình, ứng dụng tỉ số lượng giác và hệ thức lượng trong tam giác vuông, cùng bài toán tìm giá trị lớn nhất của diện tích.
I. ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Câu I (3,75 điểm):
1. Giải các phương trình, bất phương trình sau:
a) \((x - 2)(2x + 6) = 0\)
b) \[\frac{4}{x + 3} + rac{x - 1}{x - 3} = rac{x^2 + x}{x^2 - 9}\]
c) \(2(x - 3) < 5x\)
2. Giải hệ phương trình: \[\begin{cases} 3x + 2y = 5 \\ 4x - y = 3 \end{cases}\]
3. Cho \(a < b\). Hãy so sánh:
a) \(a - 5\) và \(b - 5\)
b) \(3a + 2\) và \(3b + 2\)
c) \(-2a\) và \(-2b\)
Câu II (2,25 điểm). Giải bài toán sau bằng cách lập bất phương trình, hệ phương trình:
1) Trong đợt quyên góp ủng hộ các bạn học sinh ở Cao Bằng bị lũ lụt do cơn bão số 11 (bão Matmo), bạn An đã dùng 600 000 đồng tiền tiết kiệm để mua 2 loại vở. Biết một quyển vở Tiểu học giá 8 000 đồng, một quyển vở Trung học giá 12 000 đồng. Hỏi sau khi mua 40 quyển vở Tiểu học thì bạn An mua được nhiều nhất bao nhiêu quyển vở Trung học?
2) Một người mua một cái bàn là và một cái quạt điện với tổng số tiền theo giá niêm yết là 750 nghìn đồng. Khi trả tiền người đó được khuyến mại 10% đối với bàn là và 20% đối với quạt điện so với giá niêm yết. Vì vậy người đó được giảm 100 nghìn đồng so với giá niêm yết. Tính giá tiền bàn là và quạt điện theo giá niêm yết.
Câu III (1,0 điểm):
Tháp Eiffel là một công trình kiến trúc bằng thép nằm trên công viên Champ-de-Mars, cạnh sông Seine, thủ đô Paris – Pháp. Vào một khoảng thời gian trong ngày, mặt trời chiếu qua đỉnh tháp tạo với mặt đất một góc xấp xỉ bằng \(58^\circ\) và bóng của tháp trên mặt đất dài \(203\text{ m}\). Hãy tính chiều cao của tháp Eiffel (làm tròn kết quả đến mét).
Câu IV (2,5 điểm): Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), có \(AB = 5\text{ cm}\), \(AC = 12\text{ cm}\).
a) Tính độ dài \(BC\) và số đo các góc \(\widehat{B}\), \(\widehat{C}\) (số đo góc làm tròn đến độ).
b) Kẻ đường cao \(AH\). Chứng minh \(\Delta HBA \backsim \Delta ABC\), từ đó suy ra \(AB^2 = BH \cdot BC\).
c) Gọi \(E, F\) lần lượt là hình chiếu của \(H\) trên \(AB, AC\). Chứng minh rằng: \(BE \cdot CF \cdot BC = AH^3\).
Câu V (0,5 điểm): Một người nông dân muốn rào một khu đất hình chữ nhật có chu vi \(60\text{ m}\) để xây dựng một vườn hoa. Với chiều rộng của khu đất là \(x\text{ (m)}\), tìm \(x\) để diện tích vườn hoa xây được lớn nhất.
II. HƯỚNG DẪN CHẤM (TRÍCH XUẤT THEO TÀI LIỆU)
| Câu | Ý | Nội dung | Điểm |
|---|---|---|---|
| Câu I (3,75 đ) |
1a | \((x - 2)(2x + 6) = 0\) Để giải phương trình đã cho, ta giải hai phương trình sau: \(x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2\) |
0,25 |
| \(2x + 6 = 0 \Leftrightarrow x = -3\) | 0,25 | ||
| Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là \(x = 2\) và \(x = -3\). | 0,25 | ||
| 1b | Điều kiện xác định: \(x \neq 3; x \neq -3\) \[\frac{4(x - 3)}{(x + 3)(x - 3)} + \frac{(x - 1)(x + 3)}{(x + 3)(x - 3)} = \frac{x^2 + x}{(x + 3)(x - 3)}\] |
0,25 | |
| \(4x - 12 + x^2 - x + 3x - 3 = x^2 + x \Leftrightarrow 5x = 15 \Leftrightarrow x = 3\) (KTM) Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. |
0,25 | ||
| 1c | \(2(x - 3) < 5x \Leftrightarrow 2x - 6 < 5x \Leftrightarrow -3x < 6\) | 0,25 | |
| \(\Leftrightarrow x > -2\) Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là \(x > -2\). |
0,25 | ||
| Câu I (tiếp) | 2 | Giải hệ phương trình \[\begin{cases} 3x + 2y = 5 \\ 4x - y = 3 \end{cases}\] bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số. | 0,5 |
| Kết luận: hệ phương trình có nghiệm \((x; y) = (1; 1)\). | 0,25 | ||
| Câu I (tiếp) | 3 | a) Vì \(a < b\) nên \(a - 5 < b - 5\) (cộng hai vế với \(-5\)). | 0,25 |
| b) Vì \(a < b\) và \(3 > 0\) nên \(3a < 3b\), suy ra \(3a + 2 < 3b + 2\). | 0,25 | ||
| c) Vì \(a < b\) và \(-2 < 0\) nên \(-2a > -2b\) (nhân hai vế với số âm thì đổi chiều bất đẳng thức). | 0,25 | ||
| Câu II (2,25 đ) |
1 | Gọi số vở Trung học bạn An có thể mua được là \(x\) (quyển; \(x \in \mathbb{N}^*\)). Theo đề bài, ta có bất phương trình: \[12000x + 8000 \cdot 40 \le 600000\] |
0,5 |
| Giải bất phương trình, tìm được \(x \le \frac{70}{3}\). | 0,5 | ||
| Kết luận An mua được nhiều nhất 23 quyển vở Trung học. | 0,25 | ||
| 2 | Gọi giá tiền bàn là và quạt điện theo giá niêm yết lần lượt là \(x, y\) (nghìn đồng; \(0 < x, y < 750\))... | 0,25 |