A. LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP
1. Xác suất có điều kiện
Cho hai biến cố \(A\) và \(B\) thuộc cùng một phép thử, với \(P(B) > 0\). Xác suất của \(A\) khi biết \(B\) đã xảy ra được ký hiệu là \(P(A \mid B)\) và được tính bằng formula:
\[P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\]Trong \(P(A \mid B)\), biến cố đứng sau dấu \(\mid\) là điều kiện. Khi đảo thứ tự, mẫu số đổi thành \(P(A)\) và cần có \(P(A) > 0\).
2. Không gian mẫu thu hẹp
Khi biết \(B\) đã xảy ra, chỉ xét các kết quả thuộc \(B\). Nếu không gian mẫu hữu hạn và các kết quả sơ cấp đồng khả năng, ta có:
\[P(A \mid B) = \frac{n(A \cap B)}{n(B)}\]3. Đọc bảng hai chiều
Trong bảng sau, mỗi ô ghi số kết quả thuộc đồng thời nhóm ở hàng và nhóm ở cột:
| Phân loại | \(B\) | \(\bar{B}\) | Tổng cộng |
|---|---|---|---|
| \(A\) | \(n(A \cap B)\) | \(n(A \cap \bar{B})\) | \(n(A)\) |
| \(\bar{A}\) | \(n(\bar{A} \cap B)\) | \(n(\bar{A} \cap \bar{B})\) | \(n(\bar{A})\) |
| Tổng cộng | \(n(B)\) | \(n(\bar{B})\) | \(n(\Omega)\) |
Để tính \(P(A \mid B)\), chia ô giao cho tổng cột \(B\). Để tính \(P(B \mid A)\), chia cùng ô giao đó cho tổng hàng \(A\). Cách đọc này áp dụng khi chọn đều từ các đối tượng trong bảng và nhóm điều kiện có số lượng dương.
4. Quy tắc nhân xác suất
Nếu \(P(A) > 0\), thì \(P(A \cap B) = P(A)P(B \mid A)\).
Nếu \(P(A \cap B) > 0\), có thể mở rộng thành:
\[P(A \cap B \cap C) = P(A)P(B \mid A)P(C \mid A \cap B)\]5. Sơ đồ cây
Ghi xác suất của kết quả bước đầu trên nhánh đầu tiên. Ở các bước tiếp theo, ghi xác suất có điều kiện theo các kết quả đã đi qua. Nhân xác suất dọc một đường đi. Nếu biến cố gồm nhiều đường đi loại trừ nhau, cộng xác suất của các đường đi đó.
6. Bảng số liệu chứa ẩn
Dùng tổng hàng và tổng cột để biểu diễn các ô còn thiếu theo \(x\). Nếu đề cho \(P(A \mid B) = p_0\), lập phương trình \(n(A \cap B) = p_0 n(B)\) với \(n(B) > 0\). Kiểm tra các số lượng thu được là số nguyên không âm và phù hợp với các tổng trong bảng.
Kiểm tra trước khi tính: Gạch chân dữ kiện sau chữ “biết”. Dùng biến cố tương ứng làm điều kiện, rồi xác định phần giao với biến cố cần tính. Kiểm tra mẫu số dương trước khi chia.