A. LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP
1. Quy tắc cộng: Chia công việc thành các phương án loại trừ nhau và bao quát mọi cách thực hiện. Nếu số cách tương ứng là \(n_1, \dots, n_k\), tổng số cách là \(n_1 + \dots + n_k\).
2. Quy tắc nhân: Chia công việc thành các bước liên tiếp. Nếu ở bước \(i\), với mỗi kết quả hợp lệ của các bước trước, luôn có đúng \(n_i\) cách tiếp tục thì tổng số cách là \(n_1 \cdots n_k\).
3. Sơ đồ cây: Gốc là điểm bắt đầu. Mỗi nhánh biểu diễn một lựa chọn tại bước tương ứng. Mỗi đường đi từ gốc tới một nút lá hợp lệ biểu diễn một kết quả hoàn chỉnh.
4. Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp:
| Dạng | Cách nhận diện | Số cách |
|---|---|---|
| Hoán vị | Xếp thứ tự cả \(n\) phần tử phân biệt | \(P_n = n!\) |
| Chỉnh hợp | Chọn \(k\) phần tử rồi xếp thứ tự | \(A_n^k = \frac{n!}{(n - k)!}\) |
| Tổ hợp | Chọn \(k\) phần tử để lập một nhóm | \(C_n^k = \frac{n!}{k!(n - k)!}\) |
Với \(n \ge 1\), dùng \(1 \le k \le n\) cho chỉnh hợp và \(0 \le k \le n\) cho tổ hợp. Quy ước \(0! = 1\).
\[C_n^k = C_n^{n-k} \quad (0 \le k \le n), \qquad C_n^k + C_n^{k+1} = C_{n+1}^{k+1} \quad (0 \le k < n).\]Nhận diện nhanh: Nếu đổi chỗ hai phần tử làm thay đổi kết quả, thứ tự có vai trò. Nếu chỉ đổi cách liệt kê các thành viên của cùng một nhóm, đó vẫn là một cách chọn.
Kiểm tra trước khi tính: Ghi rõ đối tượng cần đếm. Nếu chia trường hợp, kiểm tra các trường hợp rời nhau. Nếu chia bước, kiểm tra số lựa chọn ở mỗi bước. Sau đó mới quyết định dùng hoán vị, chỉnh hợp hay tổ hợp.
B. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1 (TME): Một hành khách đi công tác bằng đường bộ từ tỉnh \(A\) qua tỉnh \(B\), tỉnh \(C\) rồi mới tới tỉnh \(D\). Biết rằng từ \(A\) sang \(B\) có 12 tuyến xe buýt, từ \(B\) sang \(C\) có 15 tuyến xe khách liên tỉnh, và từ \(C\) sang \(D\) có 8 chuyến xe trung chuyển địa phương. Hỏi hành khách đó có tất cả bao nhiêu hành trình khác nhau để đi từ tỉnh \(A\) đến tỉnh \(D\)?
Ví dụ 2 (TME): Một thư viện số của trường THPT lưu trữ 320 đầu sách môn Toán, 450 đầu sách môn Ngữ văn, 230 đầu sách môn Tiếng Anh và 280 đầu sách môn Lịch sử (các đầu sách hoàn toàn khác nhau). Một học sinh muốn chọn ngẫu nhiên đúng 1 đầu sách bất kỳ để đọc trong tuần. Hỏi học sinh có bao nhiêu cách chọn?
Ví dụ 3 (TME): Một đoàn gồm 7 bạn tình nguyện viên được phân công ngồi vào một dãy ghế đại biểu gồm đúng 7 ghế được đánh số thứ tự từ 1 đến 7. Mỗi bạn ngồi vào đúng một ghế. Hỏi có tất cả bao nhiêu cách sắp xếp vị trí ngồi cho 7 bạn tình nguyện viên đó?
Ví dụ 4 (TME): Từ tập hợp các chữ số \(X = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}\), người ta lập các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu?
Ví dụ 5 (TME): Một lớp học có 20 học sinh xuất sắc. Giáo viên chủ nhiệm cần chọn ra một nhóm gồm đúng 3 bạn đại diện cho lớp đi tham dự diễn đàn thanh niên của trường (các bạn trong nhóm có vai trò bình đẳng, không phân chia vị trí). Hỏi có bao nhiêu cách chọn nhóm 3 học sinh trên?