Tóm tắt nội dung đề thi:
- Cơ sở đào tạo: Trường THPT Chuyên Hà Nội – Amsterdam (Tổ Toán – Tin).
- Kỳ thi: Kiểm tra giữa học kỳ I – Môn Toán lớp 9 (Năm học 2026 – 2027).
- Thời gian làm bài: 90 phút.
- Cấu trúc đề bài: 5 câu hỏi tự luận bao gồm hệ phương trình, phương trình phân thức, bất phương trình bậc nhất một ẩn, giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình, ứng dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, bất đẳng thức, hình học tổng hợp và bài toán tối ưu phủ hình thực tế.
ĐỀ THI GIỮA HỌC KỲ I TOÁN 9 - THPT CHUYÊN HÀ NỘI – AMSTERDAM
Câu I (2,5 điểm).
1) Giải hệ phương trình:
\(\begin{cases} 3\sqrt{2x+y} + \dfrac{4}{y-1} = 5 \\ 2\sqrt{2x+y} - \dfrac{1}{y-1} = 7 \end{cases}\)2) Giải phương trình:
\[\dfrac{13}{2x^2+x-21} + \dfrac{6}{9-x^2} = \dfrac{-2}{2x+7}\]3) Giải bất phương trình: \((2x-1)(x+3) > 2x^2 + x\).
Câu II (2,0 điểm).
1) Trong một cuộc thi ném bóng vào rổ, mỗi học sinh được ném 20 quả bóng. Mỗi quả bóng ném vào rổ được cộng 3 điểm, mỗi quả bóng ném ra ngoài bị trừ 2 điểm. Để vượt qua vòng loại, học sinh phải đạt ít nhất 30 điểm. Hỏi một học sinh phải ném vào rổ ít nhất bao nhiêu quả bóng để vượt qua vòng loại?
2) (Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình)
Để trang bị phòng học thông minh, lớp học dự định mua một máy chiếu và một bảng tương tác với tổng giá niêm yết là 60 triệu đồng. Nhân dịp khai giảng năm học mới, đơn vị cung cấp áp dụng chương trình khuyến mại: máy chiếu được giảm giá 10%, còn bảng tương tác được giảm giá 15%. Vì vậy, lớp học đó chỉ phải thanh toán tổng cộng 52 triệu đồng. Hỏi giá niêm yết của mỗi thiết bị là bao nhiêu tiền?
Câu III (1,5 điểm).
1) Với số thực \(x > -3\), chứng minh rằng: \[x^3 + x^2 \ge 5x - 3\]
2) Sau một trận mưa bão, một cột đèn chiếu sáng trong sân trường bị gãy tại một điểm trên thân cột. Phần phía trên của cột đèn đổ xuống, đầu cột vừa chạm mặt sân tại điểm cách chân cột 4,5m. Biết phần cột bị gãy tạo với mặt sân một góc \(35^\circ\), phần cột còn lại vẫn thẳng đứng và mặt sân nằm ngang. Hỏi trước khi bị gãy, cột đèn cao bao nhiêu mét? (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.)
Câu IV (3,5 điểm).
Cho tam giác \(ABC\) nhọn (\(AB < AC\)), các đường cao \(AD\), \(BE\) và \(CF\) đồng quy tại \(H\). Vẽ điểm \(K\) khác phía điểm \(A\) so với đường thẳng \(BC\) sao cho tứ giác \(ABKC\) là hình bình hành. Các đường thẳng \(AK\) và \(BE\) cắt nhau tại điểm \(P\). Từ điểm \(P\) vẽ đoạn thẳng \(PQ\) vuông góc với đường thẳng \(AB\) tại điểm \(Q\). Các đường thẳng \(EQ\) và \(CF\) cắt nhau tại điểm \(L\). Gọi \(T\) là trung điểm của đoạn thẳng \(LE\).
1) Chứng minh 4 điểm \(H, C, K\) và \(B\) cùng thuộc một đường tròn.
2) Chứng minh \(BH \cdot BE = BF \cdot BA\) và \[\cot \widehat{DHC} + \cot \widehat{ACB} = \dfrac{BC}{DA}\]
3) Chứng minh \(\Delta DBH\) đồng dạng với \(\Delta CKH\) và ba điểm \(T, H, K\) thẳng hàng.
Câu V (0,5 điểm).
Một mảnh sân vườn có hình dạng tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) với góc \(B\) là \(60^\circ\). Chủ nhà có 2 chiếc ô với tán hình tròn có bán kính dài 1m (có thể điều chỉnh độ cao). Tại một thời điểm mặt trời lên cao, nắng chiếu vuông góc với mảnh sân vườn, chủ nhà muốn đặt vị trí 2 chiếc ô sao cho chúng che kín toàn bộ mảnh sân vườn. Hãy tìm vị trí đặt tâm 2 chiếc ô đó thỏa mãn yêu cầu nói trên biết cạnh \(AC\) dài 3m (tâm các chiếc ô có thể nằm trên các cạnh hoặc nằm bên trong tam giác \(ABC\)). Sau đó, chứng minh khi cạnh \(AC\) của mảnh sân vườn lớn hơn 3m thì không có cách nào để đặt vị trí 2 chiếc ô thỏa mãn yêu cầu nói trên.