Tóm tắt nội dung đề thi: Đề thi chọn đội tuyển tham dự kỳ thi Học sinh giỏi môn Toán lớp 9 cấp tỉnh năm học 2026-2027 của UBND Phường Vinh Phú. Đề thi bao gồm 6 câu hỏi tự luận với tổng thời gian làm bài là 150 phút, kiểm tra toàn diện các mảng kiến thức nâng cao bao gồm: Số học (chính phương, phương trình Diophante), Đại số (phương trình, hệ phương trình), Xác suất thống kê, Bài toán tối ưu hình học không gian, Hình học phẳng (đồng dạng, phân giác, song song) và Tổ hợp số học Dirichlet.
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG LỚP 9 MÔN TOÁN
Bài 1 (2,5 điểm)
a) Cho các số nguyên dương \(a, b, c\) thỏa mãn \(a^2 + b^2 = c^2\). Chứng minh rằng biểu thức \(A = (a + b + c + 1)(a + b - c + 2027)\) luôn viết được dưới dạng hiệu của hai số chính phương.
b) Tìm các số tự nhiên \(x, y\) thỏa mãn đẳng thức \(x^2 + 3^y = 3026\).
Bài 2 (6,0 điểm)
a) Giải phương trình \((x^2 + x + 1)^2 + 2(2x + 1)^2 = 27\).
b) Giải hệ phương trình \[\begin{cases} x^2 + y^2 + xy + 1 = 4y \\ y(x + y)^2 = 2x^2 + 7y + 2 \end{cases}\]
Bài 3 (1,5 điểm)
Gọi \(X\) là tập hợp các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau. Lấy ngẫu nhiên một số từ tập hợp \(X\). Tính xác suất của biến cố \(A\): “Số lấy ra là số lớn hơn 59000”.
Bài 4 (2,0 điểm)
Một người thợ cơ khí cần cắt vừa đủ đoạn thép dài \(10\text{ m}\) thành các đoạn nhỏ để hàn lại thành khung của một hình lập phương và một hình hộp chữ nhật. Biết hình hộp chữ nhật có chiều dài gấp 6 lần chiều rộng và chiều cao bằng chiều rộng (hình vẽ minh họa). Tìm độ dài của các đoạn sắt sao cho tổng thể tích của hai hình thu được nhỏ nhất?
Bài 5 (7,0 điểm)
Cho tam giác nhọn \(ABC\) (\(AB < AC\)) có ba đường cao \(AD, BE, CF\) cắt nhau tại \(H\). Gọi \(I\) là giao điểm của \(EF\) và \(AD\). Đường thẳng qua điểm \(I\) và song song với \(BE\) cắt cạnh \(AB\) tại điểm \(K\).
a) Chứng minh \(\Delta EHF \sim \Delta CHB\).
b) Chứng minh \(EH\) là tia phân giác của góc \(\widehat{DEF}\) và \(DK\) đi qua trung điểm của đoạn thẳng \(BH\).
c) Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(BC\). Gọi \(P\) là giao điểm của \(ME\) và \(IC\). Chứng minh \(HP\) song song với \(BC\).
Bài 6 (1,0 điểm)
Chọn 101 số tự nhiên khác nhau bất kì sao cho mỗi số đều không vượt quá 2026 và mỗi số đều chia 17 dư 10. Chứng minh rằng trong 101 số trên luôn chọn được ba số có tổng không lớn hơn 1050.