Đề kiểm tra giữa học kỳ I môn Toán 9 – THCS Giảng Võ 2 (Năm học 2026 – 2027)
Thời gian làm bài: 90 phút. Đề thi gồm 4 bài toán tự luận bao quát kiến thức trọng tâm giữa kì 1: Phương trình và hệ phương trình, bài toán thực tế lập hệ phương trình/phương trình, hệ thức lượng trong tam giác vuông, đường tròn và cực trị hình học.
ĐỀ BÀI
Bài I (3,0 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình sau:
1) \((3x - 2)^2 - (2x + 5)^2 = 0\).
2) \[\frac{2}{x - 3} - rac{5}{x} = rac{x + 3}{x^2 - 3x}\]
3) \[\begin{cases} 2x - 3y = 5 \\ 3x + 2y = 4 \end{cases}\]
Bài II (2,5 điểm) Giải các bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
1) Sân bóng rổ của một trường học có dạng hình chữ nhật có chu vi là \(86\text{ m}\). Nếu tăng chiều dài thêm \(6\text{ m}\) và giảm chiều rộng đi \(1\text{ m}\) thì diện tích sân tăng thêm \(56\text{ m}^2\). Tính chiều dài và chiều rộng ban đầu của sân bóng rổ.
2) Một tổ sản xuất dự định hoàn thành một số sản phẩm trong một thời gian nhất định. Theo kế hoạch, mỗi ngày tổ phải sản xuất \(40\) sản phẩm. Khi thực hiện, nhờ cải tiến kĩ thuật, mỗi ngày tổ đã sản xuất được nhiều hơn kế hoạch \(10\) sản phẩm. Vì vậy, tổ đã hoàn thành công việc sớm hơn kế hoạch \(3\) ngày và sản xuất thêm được \(30\) sản phẩm so với kế hoạch. Hỏi theo kế hoạch, tổ phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm?
Bài III (4,0 điểm)
1) Mặt cắt đứng của khung thép có dạng tam giác \(ABC\) cân tại \(A\), đường cao \(AH\). Biết \(\widehat{B} = 26^\circ\) và \(AB = 4\text{ m}\). Tính chiều cao \(AH\) của khung thép và độ dài đoạn thẳng \(BC\) (Làm tròn các kết quả đến hàng phần mười của mét).
2) Cho tam giác \(ABC\) có ba góc nhọn (\(AB < AC\)). Các đường cao \(BE, CF\) của tam giác \(ABC\) cắt nhau tại điểm \(H\).
a) Chứng minh bốn điểm \(B, C, E, F\) cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh tam giác \(BHF\) đồng dạng với tam giác \(CHE\) và \(\widehat{BEF} = \widehat{BCF}\).
c) Lấy điểm \(K\) sao cho \(F\) là trung điểm của đoạn thẳng \(BK\). Gọi \(M, N\) lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng \(EF\) và \(CK\). Chứng minh đường thẳng \(MN\) vuông góc với đường thẳng \(MH\).
Bài IV (0,5 điểm)
Một cửa hàng muốn thiết kế một biển quảng cáo có dạng hình chữ nhật đặt bên trong một khung trang trí hình tam giác đều \(ABC\) có cạnh dài \(12\text{ m}\). Biển quảng cáo hình chữ nhật \(MNPQ\) được bố trí sao cho hai đỉnh \(M, N\) nằm trên cạnh \(BC\), hai đỉnh \(P, Q\) lần lượt nằm trên cạnh \(AC, AB\). Để tận dụng tối đa diện tích quảng cáo, chủ cửa hàng muốn diện tích hình chữ nhật \(MNPQ\) lớn nhất. Để diện tích biển quảng cáo được lớn nhất, cửa hàng cần đặt điểm \(M\) ở vị trí nào trên cạnh \(BC\)? Khi đó, diện tích lớn nhất của biển quảng cáo là bao nhiêu mét vuông?