Tài liệu tuyển tập Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi TP. Hồ Chí Minh năm 2026 - Ngày 1. Bao gồm các bài toán về Dãy số hội tụ, Tam giác và Đa thức nâng cao có lời giải chi tiết.
Chương 1. CHỌN ĐTQG TP HỒ CHÍ MINH 2026 – NGÀY 1
Bài toán 0.1. (Lim Olympic - TPHCM TST - P1)
Cho các dãy số \((x_n)\), \((y_n)\), \((z_n)\) được xác định bởi \(x_1 = 3, y_1 = 4, z_1 = 5\) và:
\[x_{n+1} = \frac{x_n + y_n}{2}, \quad y_{n+1} = \frac{y_n + z_n}{2}, \quad z_{n+1} = \frac{z_n + x_n}{2}, \quad \forall n \ge 1\]
1) Chứng minh ba số \(x_n, y_n, z_n\) là độ dài ba cạnh của tam giác có chu vi bằng 12 với mọi \(n \ge 1\).
2) Đặt \(d_n = (x_n - y_n)^2 + (y_n - z_n)^2 + (z_n - x_n)^2\). Chứng minh dãy \((d_n)\) hội tụ và tính \(\lim_{n \to +\infty} d_n\).
Cho các dãy số \((x_n)\), \((y_n)\), \((z_n)\) được xác định bởi \(x_1 = 3, y_1 = 4, z_1 = 5\) và:
\[x_{n+1} = \frac{x_n + y_n}{2}, \quad y_{n+1} = \frac{y_n + z_n}{2}, \quad z_{n+1} = \frac{z_n + x_n}{2}, \quad \forall n \ge 1\]
1) Chứng minh ba số \(x_n, y_n, z_n\) là độ dài ba cạnh của tam giác có chu vi bằng 12 với mọi \(n \ge 1\).
2) Đặt \(d_n = (x_n - y_n)^2 + (y_n - z_n)^2 + (z_n - x_n)^2\). Chứng minh dãy \((d_n)\) hội tụ và tính \(\lim_{n \to +\infty} d_n\).
Lời giải.
1) Trước hết ta có:
\[x_{n+1} + y_{n+1} + z_{n+1} = \frac{x_n + y_n + y_n + z_n + z_n + x_n}{2} = x_n + y_n + z_n = \dots = x_1 + y_1 + z_1 = 12\]
Mặt khác, bằng quy nạp ta có \(3 \le x_n, y_n, z_n \le 5\) với mọi \(n \ge 1\).
Khi đó \(x_n < 6 = 12 - 6 < 12 - x_n = y_n + z_n\). Tương tự, \(y_n < z_n + x_n\) và \(z_n < x_n + y_n\).
Vậy \(x_n, y_n, z_n\) là độ dài ba cạnh của một tam giác, và chu vi của tam giác đó bằng 12.
2) Ta có với mọi \(n \ge 1\) thì:
\[x_{n+1} - y_{n+1} = \frac{x_n - z_n}{2}, \quad y_{n+1} - z_{n+1} = \frac{y_n - x_n}{2}, \quad z_{n+1} - x_{n+1} = \frac{z_n - y_n}{2}\]
Do đó với mọi \(n \in \mathbb{N}\) ta có:
\[d_{n+1} = \frac{1}{4}\left((x_n - z_n)^2 + (y_n - x_n)^2 + (z_n - y_n)^2\right) = \frac{1}{4}d_n = \dots = \frac{1}{4^n} d_1 = \frac{6}{4^n}\]
Vì thế \((d_n)\) là dãy số hội tụ và \(\lim_{n \to +\infty} d_n = 0\).
1) Trước hết ta có:
\[x_{n+1} + y_{n+1} + z_{n+1} = \frac{x_n + y_n + y_n + z_n + z_n + x_n}{2} = x_n + y_n + z_n = \dots = x_1 + y_1 + z_1 = 12\]
Mặt khác, bằng quy nạp ta có \(3 \le x_n, y_n, z_n \le 5\) với mọi \(n \ge 1\).
Khi đó \(x_n < 6 = 12 - 6 < 12 - x_n = y_n + z_n\). Tương tự, \(y_n < z_n + x_n\) và \(z_n < x_n + y_n\).
Vậy \(x_n, y_n, z_n\) là độ dài ba cạnh của một tam giác, và chu vi của tam giác đó bằng 12.
2) Ta có với mọi \(n \ge 1\) thì:
\[x_{n+1} - y_{n+1} = \frac{x_n - z_n}{2}, \quad y_{n+1} - z_{n+1} = \frac{y_n - x_n}{2}, \quad z_{n+1} - x_{n+1} = \frac{z_n - y_n}{2}\]
Do đó với mọi \(n \in \mathbb{N}\) ta có:
\[d_{n+1} = \frac{1}{4}\left((x_n - z_n)^2 + (y_n - x_n)^2 + (z_n - y_n)^2\right) = \frac{1}{4}d_n = \dots = \frac{1}{4^n} d_1 = \frac{6}{4^n}\]
Vì thế \((d_n)\) là dãy số hội tụ và \(\lim_{n \to +\infty} d_n = 0\).
Bài toán 0.2. (Lim Olympic - TPHCM TST - P2)
Cho đa thức
\[P(x) = a_{2026}x^{2026} + \dots + a_1 x + a_0\]
trong đó \(a_i \in \{1, 3\}\) với mọi \(i = 0, 1, \dots, 2026\). Gọi \(m\) là số hệ số của \(P(x)\) bằng 3.
1) Giả sử \(P(x)\) chia hết cho \(x^2 + x + 1\). Chứng minh rằng \(m \ne 0, 1\).
2) Giả sử \(P(x)\) có nghiệm nguyên. Chứng minh rằng \(m\) là số chẵn.
Cho đa thức
\[P(x) = a_{2026}x^{2026} + \dots + a_1 x + a_0\]
trong đó \(a_i \in \{1, 3\}\) với mọi \(i = 0, 1, \dots, 2026\). Gọi \(m\) là số hệ số của \(P(x)\) bằng 3.
1) Giả sử \(P(x)\) chia hết cho \(x^2 + x + 1\). Chứng minh rằng \(m \ne 0, 1\).
2) Giả sử \(P(x)\) có nghiệm nguyên. Chứng minh rằng \(m\) là số chẵn.
Lời giải.
1) Đặt \(S(x) = 1 + x + x^2 + \dots + x^{2026}\). Gọi \(A\) là tập các chỉ số \(i\) sao cho \(a_i = 3\). Khi đó \(|A| = m\) và
\[P(x) = 2S(x) + \sum_{i \in A} x^i\]
Để ý \(x^3 \equiv 1 \pmod{x^2 + x + 1}\), suy ra
\[S(x) \equiv 1 + x \pmod{x^2 + x + 1}\]
1) Đặt \(S(x) = 1 + x + x^2 + \dots + x^{2026}\). Gọi \(A\) là tập các chỉ số \(i\) sao cho \(a_i = 3\). Khi đó \(|A| = m\) và
\[P(x) = 2S(x) + \sum_{i \in A} x^i\]
Để ý \(x^3 \equiv 1 \pmod{x^2 + x + 1}\), suy ra
\[S(x) \equiv 1 + x \pmod{x^2 + x + 1}\]