I. BÀI TOÁN 0.5 (Lim Olympic - TPHCM TST - P5)
- Tìm tất cả các đa thức \(P(x)\) có bậc không vượt quá 2.
- Gọi bậc của đa thức tốt \(P(x)\) là \(n\). Chứng minh rằng nếu \(n > 2\) thì \(n\) là số chẵn.
Lời giải.
1) Xét đa thức \(P(x) = ax^2 + bx + c\). Với các số thực \(x, y, z\) thỏa mãn \(x + y + z = 3\), ta có:\[ P(x) + P(y) + P(z) - 3P(1) = a(x^2 + y^2 + z^2 - 3). \]
Nếu \(a \ge 0\), khi đó ta có:\[ P(x) + P(y) + P(z) - 3P(1) = a(x^2 + y^2 + z^2 - 3) \ge a \left[ \frac{(x + y + z)^2}{3} - 3 \right] \ge 0. \]
Do đó \(P(x)\) là đa thức tốt.
Ngược lại, nếu \(a < 0\), chọn \((x, y, z) = (3, 0, 0)\) thì:\[ P(x) + P(y) + P(z) - 3P(1) = a(3^2 + 0^2 + 0^2 - 3) = -6a < 0. \]
Khi đó \(P(x)\) không là đa thức tốt.
Do đó \(P(x) = ax^2 + bx + c\) với \(a \ge 0\) và \(b, c \in \mathbb{R}\) là các đa thức tốt cần tìm.
2) Giả sử phản chứng \(n > 2\) là số lẻ, xét bộ \((x, y, z) = (1 + 2t, 1 - t, 1 - t)\). Khi đó \(x + y + z = 3\) và:\[ P(1 + 2t) + 2P(1 - t) - 3P(1) \ge 0, \quad \forall t \in \mathbb{R}. \]
Đặt \(Q(t) = P(1 + 2t) + 2P(1 - t) - 3P(1)\) với \(t \in \mathbb{R}\), và gọi hệ số bậc cao nhất của đa thức \(P(x)\) là \(a_n \neq 0\). Khi đó xét hệ số của đơn thức \(t^n\) trong đa thức \(Q(t)\) ta được:\[ a_n(2^n + 2(-1)^n) = a_n(2^n - 2) \neq 0. \]
Do đó đa thức \(Q(t)\) có bậc đúng bằng \(n\) là số lẻ, mâu thuẫn do không tồn tại đa thức bậc lẻ thỏa mãn \(Q(t) \ge 0, \forall t \in \mathbb{R}\). Vậy giả sử sai, ta có điều phải chứng minh.
II. BÀI TOÁN 0.6 (Lim Olympic - TPHCM TST - P6)
- Với \(f \in S\), gọi \(A = \{a \in \mathbb{R} \mid f(a) = 1\}\). Chứng minh rằng \(0 \notin A\) và \(2026 \in A\).
- Chứng minh rằng \(A = \{2026\}\).
- Tìm \(S\).