Chứng minh định lí về số lượng ước số nguyên dương của n

Định lí về số lượng ước số

📝 Định lí

Cho số tự nhiên \(n > 1\), giả sử \(n\) được phân tích thành thừa số nguyên tố:

\[ n=p_1^{m_1}\cdot p_2^{m_2}\cdots p_k^{m_k}. \]

Khi đó số (lượng) ước số nguyên dương của \(n\) là:

\[ (m_1+1)(m_2+1)\cdots(m_k+1). \]

Chứng minh định lí

💡 Chứng minh

Vì \[ n=p_1^{m_1}\cdot p_2^{m_2}\cdots p_k^{m_k}, \] nên mỗi ước nguyên dương \(d\) của \(n\) đều có dạng:

\[ d=p_1^{x_1}\cdot p_2^{x_2}\cdots p_k^{x_k}, \]

trong đó:

\[ 0\le x_1\le m_1,\quad 0\le x_2\le m_2,\quad \ldots,\quad 0\le x_k\le m_k. \]

Với thừa số nguyên tố \(p_1\), số mũ \(x_1\) có thể nhận một trong \(m_1+1\) giá trị là:

\[ 0,1,2,\ldots,m_1. \]

Tương tự, số mũ \(x_i\) có \(m_i+1\) cách lựa chọn, với \(i=1,2,\ldots,k\).

Theo quy tắc nhân, số cách chọn các số mũ \(x_1,x_2,\ldots,x_k\), cũng chính là số ước nguyên dương của \(n\), bằng:

\[ (m_1+1)(m_2+1)\cdots(m_k+1). \]

Vậy số ước số nguyên dương của \(n\) là:

\[ \boxed{(m_1+1)(m_2+1)\cdots(m_k+1)}. \]

Ví dụ áp dụng

📝 Ví dụ

Tìm số lượng ước số nguyên dương của số \(720\).

💡 Lời giải

Ta phân tích số \(720\) thành thừa số nguyên tố:

\[ 720=2^4\cdot3^2\cdot5. \]

Theo định lí về số lượng ước số, số ước nguyên dương của \(720\) là:

\[ (4+1)(2+1)(1+1)=5\cdot3\cdot2=30. \]

Vậy số \(720\) có \( \boxed{30} \) ước số nguyên dương.

📌 Ghi chú

Có thể liệt kê \(30\) ước của \(720\): \[ \begin{aligned} Ư(720)=\{& 1;\ 2;\ 3;\ 4;\ 5;\ 6;\ 8;\ 9;\ 10;\ 12;\\ &15;\ 16;\ 18;\ 20;\ 24;\ 30;\ 36;\ 40;\ 45;\ 48;\\ &60;\ 72;\ 80;\ 90;\ 120;\ 144;\ 180;\ 240;\ 360;\ 720 \}. \end{aligned} \]

Định lí về số lượng ước số 📝 Định lí Cho số tự nhiên \(n > 1\), giả sử \(n\) được phân tích thành thừa số nguyên tố: \[ n=p_1^{m_1}\cdot p_2^{m_2}\cdots p_k^{m_k}. \] Khi đó số (lượng) ước số nguyên dư…

Chứng minh định lí tổng các ước số của một số nguyên dương

Định lí về tổng các ước của số nguyên dương

📝 Định lí

Nếu số nguyên dương \(n\) được phân tích thành thừa số nguyên tố:

\[ n=p_1^{m_1}\cdot p_2^{m_2}\cdots p_k^{m_k} \]

thì tổng các ước nguyên dương của \(n\) là:

\[ \sigma(n)=\prod_{i=1}^{k} \left(\frac{p_i^{m_i+1}-1}{p_i-1}\right). \]

Chứng minh định lí tổng các ước số nguyên dương

💡 Chứng minh

Tất cả những ước số của \(n\) đều có dạng:

\[ p_1^{x_1}\cdot p_2^{x_2}\cdots p_k^{x_k} \]

với

\[ 0\le x_1\le m_1,\quad 0\le x_2\le m_2,\quad \ldots,\quad 0\le x_k\le m_k. \]

Từ đó ta có tổng tất cả các ước số nguyên dương của \(n\) là:

\[ \sigma(n) =\sum_{x_1=0}^{m_1} \sum_{x_2=0}^{m_2} \cdots \sum_{x_k=0}^{m_k} \left( p_1^{x_1}p_2^{x_2}\cdots p_k^{x_k} \right). \]

Ta đưa lần lượt các thừa số không phụ thuộc vào từng biến ra ngoài dấu tổng:

\[ \sigma(n) = \left(\sum_{x_1=0}^{m_1}p_1^{x_1}\right) \left(\sum_{x_2=0}^{m_2}p_2^{x_2}\right) \cdots \left(\sum_{x_k=0}^{m_k}p_k^{x_k}\right). \]

Mỗi tổng trong ngoặc là một tổng cấp số nhân. Do đó:

\[ \sigma(n) = \left(\frac{p_1^{m_1+1}-1}{p_1-1}\right) \left(\frac{p_2^{m_2+1}-1}{p_2-1}\right) \cdots \left(\frac{p_k^{m_k+1}-1}{p_k-1}\right). \]

Vậy:

\[ \boxed{ \sigma(n)=\prod_{i=1}^{k} \left(\frac{p_i^{m_i+1}-1}{p_i-1}\right) }. \]

Ví dụ áp dụng

📝 Ví dụ

Tính tổng tất cả các ước nguyên dương của số \(240\).

💡 Lời giải

Ta có:

\[ 240=2^4\cdot3\cdot5. \]

Theo định lí về hàm tổng các ước, ta có:

\[ \sigma(240) = \left(\frac{2^{4+1}-1}{2-1}\right) \left(\frac{3^{1+1}-1}{3-1}\right) \left(\frac{5^{1+1}-1}{5-1}\right). \]

Tính toán:

\[ \begin{aligned} \sigma(240) &=\frac{2^5-1}{1}\cdot\frac{3^2-1}{2}\cdot\frac{5^2-1}{4}\\ &=31\cdot4\cdot6\\ &=744. \end{aligned} \]

Vậy tổng tất cả các ước nguyên dương của \(240\) là \( \boxed{744}. \)

Định lí về tổng các ước của số nguyên dương 📝 Định lí Nếu số nguyên dương \(n\) được phân tích thành thừa số nguyên tố: \[ n=p_1^{m_1}\cdot p_2^{m_2}\cdots p_k^{m_k} \] thì tổng các ước nguyên dương của \…