GHI NHỚ NHANH
- Số vô tỉ là số thập phân vô hạn không tuần hoàn.
- Căn bậc hai số học của số \(a \ge 0\) là số không âm \(x\) thỏa mãn \(x^2 = a\).
- Với hai số không âm \(a, b\): Nếu \(a > b \ge 0\) thì \(\sqrt{a} > \sqrt{b}\).
- Ứng dụng căn bậc hai giúp giải quyết các bài toán tính độ dài cạnh, đường chéo và khoảng cách trong thực tế.
I. Số vô tỉ và Dấu hiệu nhận biết
1. Khái niệm số vô tỉ
- Số vô tỉ là số viết được dưới dạng số thập phân vô hạn không tuần hoàn.
- Tập hợp các số vô tỉ được kí hiệu riêng và không thuộc tập hợp số hữu tỉ \(\mathbb{Q}\).
2. Dấu hiệu nhận biết
- Số thập phân có phần thập phân kéo dài vô hạn và không có chu kì lặp lại.
- Số không thể viết dưới dạng phân số \(\frac{a}{b}\) với \(a, b \in \mathbb{Z}, b \neq 0\).
3. Một số ví dụ về số vô tỉ
- \(\sqrt{2} = 1,41421356...\)
- \(\pi = 3,14159265...\)
- \(\sqrt{3} = 1,73205080...\)
- \(2,010010001...\) (phần thập phân kéo dài vô hạn không tuần hoàn)
II. Căn bậc hai số học
1. Định nghĩa
- Căn bậc hai số học của số \(a\) (với \(a \ge 0\)) là số không âm \(x\) sao cho \(x^2 = a\).
- Kí hiệu căn bậc hai số học của \(a\) là \(\sqrt{a}\).
- Tính chất: Với \(a \ge 0\), ta luôn có \((\sqrt{a})^2 = a\).
2. Ví dụ về căn bậc hai số học
- \(\sqrt{0} = 0\)
- \(\sqrt{4} = 2\) (vì \(2^2 = 4\) và \(2 > 0\))
- \(\sqrt{9} = 3\) (vì \(3^2 = 9\) và \(3 > 0\))
- \(\sqrt{25} = 5\) (vì \(5^2 = 25\) và \(5 > 0\))
- \(\sqrt{2} \approx 1,41\); \(\sqrt{3} \approx 1,73\)
III. So sánh căn bậc hai số học
Với hai số không âm \(a\) và \(b\) (\(a, b \ge 0\)):
- Nếu \(a > b\) thì \(\sqrt{a} > \sqrt{b}\).
- Nếu \(a = b\) thì \(\sqrt{a} = \sqrt{b}\).
- Nếu \(a < b\) thì \(\sqrt{a} < \sqrt{b}\).
IV. Phân biệt số hữu tỉ và số vô tỉ
| Đặc điểm | Số hữu tỉ (\(\mathbb{Q}\)) | Số vô tỉ |
|---|---|---|
| Biểu diễn phân số | Viết được dưới dạng \(\frac{a}{b}\) (\(a, b \in \mathbb{Z}, b \neq 0\)) | Không viết được dưới dạng phân số \(\frac{a}{b}\) |
| Dạng thập phân | Số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn | Số thập phân vô hạn không tuần hoàn |
| Căn bậc hai \(\sqrt{a}\) | Khi \(a\) là số chính phương (VD: \(\sqrt{4}=2, \sqrt{9}=3\)) | Khi \(a\) không phải số chính phương (VD: \(\sqrt{2}, \sqrt{3}\)) |
V. Ước lượng và Ứng dụng thực tế
1. Ước lượng giá trị căn bậc hai
Ta có thể sử dụng máy tính cầm tay hoặc ước lượng bằng cách so sánh với các số chính phương gần nhất.
Ví dụ: Ước lượng \(\sqrt{10}\):
- Ta có \(3^2 = 9\) và \(4^2 = 16\), vì \(9 < 10 < 16\) nên \(3 < \sqrt{10} < 4\).
- Giá trị gần đúng: \(\sqrt{10} \approx 3,1623\).
2. Ứng dụng thực tế
- Tính độ dài đường chéo của hình vuông cạnh \(a\): \(d = a\sqrt{2}\).
- Tính độ dài cạnh huyền trong tam giác vuông (theo định lý Pythagore): \(c = \sqrt{a^2 + b^2}\).