Tóm tắt trọng tâm bài học:
- Bản chất: Luỹ thừa của một số hữu tỉ biểu diễn tích của nhiều thừa số giống nhau.
- Các phép tính cốt lõi: Nhân và chia hai luỹ thừa cùng cơ số, luỹ thừa của một luỹ thừa, nhân hai luỹ thừa cùng số mũ.
- Quy ước đặc biệt: Mũ 1 luôn bằng chính nó; số hữu tỉ khác 0 nâng lên luỹ thừa 0 luôn bằng 1.
- Ứng dụng: Vận dụng các công thức để tính giá trị biểu thức, rút gọn và giải các bài toán so sánh luỹ thừa.
1. Khái niệm, cách đọc và viết luỹ thừa
a) Khái niệm luỹ thừa
Với \(\frac{a}{b}\) là số hữu tỉ (\(a, b \in \mathbb{Z},\, b \ne 0\)) và số tự nhiên \(n \in \mathbb{N}\), ta định nghĩa luỹ thừa bậc \(n\) của \(\frac{a}{b}\) là:
\[ \left(\frac{a}{b}\right)^n = \underbrace{\frac{a}{b} \cdot \frac{a}{b} \cdots \frac{a}{b}}_{n\text{ thừa số}} \quad (n > 0) \]- \(\frac{a}{b}\) được gọi là cơ số.
- \(n\) được gọi là số mũ (\(n \in \mathbb{N}\)).
b) Cách đọc và viết
Kí hiệu \(\left(\frac{a}{b}\right)^n\) được đọc là: "a phần b mũ n" hoặc "luỹ thừa bậc n của a phần b".
c) Ví dụ minh hoạ
- \(\left(\dfrac{2}{3}\right)^2 = \dfrac{2^2}{3^2} = \dfrac{4}{9}\)
- \(\left(-\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{(-1)^3}{2^3} = -\dfrac{1}{8}\)
- \(\left(\dfrac{3}{4}\right)^4 = \dfrac{3^4}{4^4} = \dfrac{81}{256}\)
Tổng quát: \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}\) với \(b \ne 0\).
2. Các quy tắc tính toán luỹ thừa
a) Nhân hai luỹ thừa cùng cơ số
Khi nhân hai luỹ thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và cộng các số mũ:
\[ \left(\frac{a}{b}\right)^m \cdot \left(\frac{a}{b}\right)^n = \left(\frac{a}{b}\right)^{m + n} \]b) Chia hai luỹ thừa cùng cơ số
Khi chia hai luỹ thừa cùng cơ số (khác 0), ta giữ nguyên cơ số và trừ các số mũ:
\[ \left(\frac{a}{b}\right)^m : \left(\frac{a}{b}\right)^n = \left(\frac{a}{b}\right)^{m - n} \quad (m \ge n,\, a \ne 0) \]c) Luỹ thừa của luỹ thừa
Khi tính luỹ thừa của một luỹ thừa, ta giữ nguyên cơ số và nhân hai số mũ:
\[ \left[\left(\frac{a}{b}\right)^m\right]^n = \left(\frac{a}{b}\right)^{m \cdot n} \]d) Nhân hai luỹ thừa cùng số mũ
Khi nhân hai luỹ thừa có cùng số mũ, ta nhân hai cơ số và giữ nguyên số mũ:
\[ \left(\frac{a}{b}\right)^n \cdot \left(\frac{c}{d}\right)^n = \left(\frac{ac}{bd}\right)^n \]3. Quy ước về số mũ 1 và số mũ 0
- Mũ 1: Luỹ thừa bậc 1 của mọi số hữu tỉ đều bằng chính nó: \[ \left(\frac{a}{b}\right)^1 = \frac{a}{b} \quad (b \ne 0) \]
- Mũ 0: Luỹ thừa bậc 0 của mọi số hữu tỉ khác 0 đều bằng 1: \[ \left(\frac{a}{b}\right)^0 = 1 \quad (a \ne 0,\, b \ne 0) \]
4. Các dạng bài toán vận dụng thường gặp
- Dạng 1: Thực hiện phép tính và tính nhanh giá trị của biểu thức luỹ thừa.
- Dạng 2: Rút gọn biểu thức chứa luỹ thừa bằng cách đưa về cùng cơ số hoặc cùng số mũ.
- Dạng 3: So sánh giá trị của hai luỹ thừa (sử dụng phương pháp làm đồng nhất cơ số hoặc đồng nhất số mũ).
- Dạng 4: Tìm số chưa biết \(x\) nằm ở cơ số hoặc số mũ.