• Số thập phân vô hạn tuần hoàn là số có vô số chữ số sau dấu phẩy và từ một vị trí nào đó trở đi, các chữ số lặp lại tuần hoàn.
• Viết gọn số thập phân tuần hoàn bằng dấu gạch ngang đặt trên chu kỳ, ví dụ: \(0,333... = 0,\overline{3}\).
• Mỗi số thập phân vô hạn tuần hoàn đều là số hữu tỉ (\(\mathbb{Q}\)).
• Đổi phân số ra số thập phân bằng phép chia; thực hiện so sánh theo thứ tự hợp lý.
1. Khái niệm và dấu hiệu nhận biết
a) Khái niệm
Khi thực hiện phép chia \(1 : 3\), ta thu được kết quả \(\frac{1}{3} = 0,333...\)
• Số thập phân vô hạn tuần hoàn là số thập phân có vô số chữ số sau dấu phẩy và từ một chữ số nào đó trở đi, các chữ số lặp lại tuần hoàn.
• Gọi tắt là số thập phân tuần hoàn.
b) Dấu hiệu nhận biết
• Sau dấu phẩy, có một nhóm chữ số được lặp lại vô hạn lần.
• Nhóm lặp lại nối tiếp nhau chính là chu kỳ.
• Có thể có chữ số đứng trước chu kỳ (gọi là phần không lặp lại).
2. Chu kỳ thập phân và cách viết gọn
a) Chu kỳ thập phân
Xét số \(0,2575757...\): Nhóm chữ số \(57\) lặp lại tạo thành chu kỳ.
• Độ dài chu kỳ: Là số chữ số trong nhóm lặp lại (ví dụ ở trên có độ dài chu kỳ là 2).
• Cần xác định đúng điểm bắt đầu của chu kỳ để tránh viết sai cấu trúc số.
b) Cách viết gọn
• Dùng dấu gạch ngang đặt trên đầu chu kỳ.
Ví dụ: \(0,333... = 0,\overline{3}\)
Ví dụ: \(2,145145... = 2,1\overline{45}\) (trong đó \(1\) là phần không lặp lại, \(45\) là chu kỳ).
3. Đổi phân số ra số thập phân & Các ví dụ quen thuộc
a) Cách đổi phân số ra số thập phân
Thực hiện chia tử số cho mẫu số. Nếu phép chia có số dư lặp lại, ta sẽ thu được số thập phân vô hạn tuần hoàn.
\[\frac{3}{7} = 3 : 7 = 0,428571428571... = 0,\overline{428571}\]b) Một số ví dụ quen thuộc
- \(\frac{1}{3} = 0,\overline{3}\)
- \(\frac{2}{11} = 0,\overline{18}\)
- \(\frac{7}{12} = 0,58\overline{3}\)
- \(\frac{5}{9} = 0,\overline{5}\)
4. Mối liên hệ với số hữu tỉ
• Tập hợp số hữu tỉ (\(\mathbb{Q}\)) bao gồm hai dạng số thập phân: Số thập phân hữu hạn và Số thập phân vô hạn tuần hoàn.
• Mỗi số thập phân vô hạn tuần hoàn đều là một số hữu tỉ.
• Ngược lại, mỗi số hữu tỉ đều viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn.
5. So sánh các số thập phân tuần hoàn
Để so sánh hai số thập phân tuần hoàn, ta thực hiện lần lượt theo thứ tự:
- So sánh phần không lặp lại (hoặc phần nguyên).
- Nếu phần không lặp lại bằng nhau, so sánh đến chu kỳ.
- Nếu vẫn bằng nhau, so sánh tiếp từng chữ số tương ứng trong chu kỳ.
6. Ghi nhớ và các lỗi thường gặp
Nên nhớ:
- Xác định đúng chu kỳ của số thập phân.
- Đặt gạch ngang đúng trên các chữ số thuộc chu kỳ.
- So sánh số theo đúng thứ tự các hàng.
Dễ sai:
- Đặt gạch ngang sai vị trí (phủ sang cả phần không lặp lại).
- Quên phần chữ số không lặp lại đứng trước chu kỳ.
- Nhầm lẫn giữa số thập phân hữu hạn và số thập phân vô hạn tuần hoàn.