TÓM TẮT NỘI DUNG ĐỀ THI
Đề kiểm tra Giữa học kì I môn Toán lớp 8 năm học 2026 – 2027 của Trường THCS Nghĩa Tân (Quận Cầu Giấy), Đề số 02 gồm 5 bài tập tự luận với thời gian làm bài 90 phút. Nội dung xoay quanh các chủ đề: Đa thức nhiều biến, các phép toán đại số, hằng đẳng thức đáng nhớ, bài toán thực tế áp dụng đa thức, tính chất các hình tứ giác (hình bình hành, hình thoi) và bài toán nâng cao tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số.
ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ I MÔN TOÁN LỚP 8 - ĐỀ SỐ 02
Bài 1 (2,0 điểm). Cho hai đa thức:
\[A = -x^4 + 4x^2 - 3x + 7\]
và
\[B = 2x^4 - x^2 + x - 3x^4 + 5x^2 - 2.\]
a) Thu gọn và tìm bậc của đa thức \(B\).
b) Tính các đa thức \(C = A + B\) và \(D = A - B\).
c) Tìm \(x\) biết \(D = 1\).
Bài 2 (3,0 điểm).
2.1. (1,0 điểm) Rút gọn các biểu thức sau:
a) \(M = 3xy(2x^2y - xy) - (18x^5y^4 - 9x^4y^4 + 6x^2y^3) : (3x^2y^2)\);
b) \(N = (2x - 1)^2 + (x + 3)(x - 3) - 5x(x - 1)\).
2.2. (1,0 điểm) Tính nhanh giá trị của các biểu thức sau:
a) \(P = 205^2 - 205 \cdot 10 + 25\);
b) \(Q = 48 \cdot 52 - 50^2\).
2.3. (1,0 điểm) Tìm \(x\), biết:
a) \(4x(x - 3) - (2x - 1)(2x + 3) = 19\);
b) \((2x - 1)^2 - 4(x + 2)(x - 2) = 29\).
Bài 3 (1,0 điểm). Nhân dịp đầu năm học mới, bạn An đến nhà sách mua \(x\) quyển vở với giá \((2x + 15)\) nghìn đồng/quyển và \(y\) chiếc bút bi với giá \((y + 8)\) nghìn đồng/chiếc (với \(x, y \in \mathbb{N}^*\)). Do nhà sách đang có chương trình khuyến mãi dành cho học sinh nên tổng hóa đơn của bạn An được giảm giá \((x^2 + 5x)\) nghìn đồng.
a) Viết biểu thức \(T\) (dưới dạng đa thức thu gọn theo \(x\) và \(y\)) biểu thị số tiền thực tế (đơn vị: nghìn đồng) mà bạn An phải thanh toán.
b) Tính số tiền bạn An phải thanh toán khi mua \(x = 10\) quyển vở và \(y = 5\) chiếc bút bi.
Bài 4 (3,5 điểm).
4.1. (0,5 điểm) Một mắt lưới của cổng xếp inox tự động tại cổng trường được ghép bởi bốn thanh kim loại tạo thành tứ giác \(MNPQ\) có độ dài các đoạn \(MN = NP = PQ = QM = 40\text{ cm}\). Tứ giác \(MNPQ\) là hình gì? Vì sao?
4.2. (3,0 điểm) Cho hình bình hành \(ABCD\) (\(AB > AD\)). Gọi \(E, F\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB\) và \(CD\). Lấy điểm \(K\) đối xứng với điểm \(D\) qua điểm \(E\).
a) Chứng minh tứ giác \(ADBK\) là hình bình hành.
b) Chứng minh tứ giác \(EBFD\) là hình bình hành và điểm \(B\) là trung điểm của đoạn thẳng \(KC\).
c) Chứng minh ba đường thẳng \(BD, CE, KF\) đồng quy tại một điểm \(G\), đồng thời \(DG = 2GB\).
Bài 5 (0,5 điểm). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\[P = 2x^2 + 4y^2 - 4xy + 4x - 12y + 2036.\]
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI THAM KHẢO
Bài 1.
a) \(B = 2x^4 - x^2 + x - 3x^4 + 5x^2 - 2 = (2x^4 - 3x^4) + (-x^2 + 5x^2) + x - 2 = -x^4 + 4x^2 + x - 2.\)
Đa thức \(B\) có bậc là 4.
b) \(C = A + B = (-x^4 + 4x^2 - 3x + 7) + (-x^4 + 4x^2 + x - 2) = -2x^4 + 8x^2 - 2x + 5.\)
\(D = A - B = (-x^4 + 4x^2 - 3x + 7) - (-x^4 + 4x^2 + x - 2) = -x^4 + 4x^2 - 3x + 7 + x^4 - 4x^2 - x + 2 = -4x + 9.\)
c) \(D = 1 \Rightarrow -4x + 9 = 1 \Rightarrow -4x = -8 \Rightarrow x = 2.\)
Vậy \(x = 2.\)
Bài 2.
2.1.
a) \(M = 3xy(2x^2y - xy) - (18x^5y^4 - 9x^4y^4 + 6x^2y^3) : (3x^2y^2)\)
\(= 6x^3y^2 - 3x^2y^2 - (6x^3y^2 - 3x^2y^2 + 2y)\)
\(= 6x^3y^2 - 3x^2y^2 - 6x^3y^2 + 3x^2y^2 - 2y = -2y.\)
b) \(N = (2x - 1)^2 + (x + 3)(x - 3) - 5x(x - 1)\)
\(= 4x^2 - 4x + 1 + x^2 - 9 - 5x^2 + 5x = x - 8.\)
2.2.
a) \(P = 205^2 - 2 \cdot 205 \cdot 5 + 5^2 = (205 - 5)^2 = 200^2 = 40000.\)
b) \(Q = (50 - 2)(50 + 2) - 50^2 = 50^2 - 2^2 - 50^2 = -4.\)
2.3.
a) \(4x(x - 3) - (2x - 1)(2x + 3) = 19\)
\(4x^2 - 12x - (4x^2 + 6x - 2x - 3) = 19\)
\(4x^2 - 12x - 4x^2 - 4x + 3 = 19\)
\(-16x = 16 \Rightarrow x = -1.\)
Vậy \(x = -1.\)