Tóm tắt kiến thức về Lược đồ Bernoulli: Thực hiện n phép thử độc lập với xác suất thành công p không đổi. Nội dung bao gồm công thức Bernoulli cơ bản, xác định số lần thành công dễ xảy ra nhất, ứng dụng bài toán chuyển động ngẫu nhiên trên trục số, bài toán chuỗi bit nhị phân và điều kiện dừng ở lượt m.
A. LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. Nhận dạng lược đồ Bernoulli
– Thực hiện \(n\) phép thử độc lập. Mỗi phép thử chỉ có hai kết quả: thành công hoặc thất bại.
– Xác suất thành công luôn bằng \(p\), xác suất thất bại bằng \(q = 1 - p\).
– Gọi \(X\) là số lần thành công. Một chuỗi có đúng \(k\) lần thành công có xác suất \(p^k q^{n-k}\). Chọn \(k\) vị trí thành công trong \(n\) lượt, ta được:
\[P(X = k) = C_n^k p^k (1 - p)^{n-k}, \quad k = 0, 1, \dots, n.\]
Ví dụ nhanh: Gieo đồng xu cân đối 4 lần. Có \(C_4^2\) cách chọn 2 lượt xuất hiện mặt ngửa. Mỗi chuỗi có xác suất \(\dfrac{1}{16}\), nên xác suất đúng 2 lần ngửa là \(\dfrac{3}{8}\).
– Thực hiện \(n\) phép thử độc lập. Mỗi phép thử chỉ có hai kết quả: thành công hoặc thất bại.
– Xác suất thành công luôn bằng \(p\), xác suất thất bại bằng \(q = 1 - p\).
– Gọi \(X\) là số lần thành công. Một chuỗi có đúng \(k\) lần thành công có xác suất \(p^k q^{n-k}\). Chọn \(k\) vị trí thành công trong \(n\) lượt, ta được:
\[P(X = k) = C_n^k p^k (1 - p)^{n-k}, \quad k = 0, 1, \dots, n.\]
Ví dụ nhanh: Gieo đồng xu cân đối 4 lần. Có \(C_4^2\) cách chọn 2 lượt xuất hiện mặt ngửa. Mỗi chuỗi có xác suất \(\dfrac{1}{16}\), nên xác suất đúng 2 lần ngửa là \(\dfrac{3}{8}\).
2. Chuyển yêu cầu đề bài thành điều kiện đếm
– Ít nhất, nhiều nhất: Cộng xác suất của các giá trị \(k\) phù hợp. Nếu đề hỏi ít nhất một lần thành công, dùng \(P(X \ge 1) = 1 - (1 - p)^n\).
– Số lần thành công dễ xảy ra nhất: Với \(0 < p < 1\), xét \((n + 1)p\).
+ Nếu giá trị này không nguyên, số lần có xác suất lớn nhất là \(\lfloor (n + 1)p \rfloor\). Nếu bằng số nguyên \(m\), cả \(m - 1\) và \(m\) đều đạt cực đại.
+ Có thể kiểm tra bằng tỉ số: \[\dfrac{P(X = k + 1)}{P(X = k)} = \dfrac{(n - k)p}{(k + 1)(1 - p)} \quad \text{với } 0 \le k < n.\]
– Bước đi trên trục số: Nếu có \(k\) bước sang phải trong \(n\) bước dài 1 đơn vị, tọa độ cuối là \(2k - n\). Muốn đến vị trí \(x\), giải \(k = \dfrac{n + x}{2}\) rồi kiểm tra \(k\) nguyên và \(0 \le k \le n\).
– Ba loại kết quả: Với \(a + b + c = n\), số chuỗi có số lần xuất hiện từng loại là \(a, b, c\) bằng \(\dfrac{n!}{a!b!c!}\). Nếu các lượt độc lập và xác suất từng loại là \(p_1, p_2, p_3\), nhân số chuỗi với \(p_1^a p_2^b p_3^c\).
– Ít nhất, nhiều nhất: Cộng xác suất của các giá trị \(k\) phù hợp. Nếu đề hỏi ít nhất một lần thành công, dùng \(P(X \ge 1) = 1 - (1 - p)^n\).
– Số lần thành công dễ xảy ra nhất: Với \(0 < p < 1\), xét \((n + 1)p\).
+ Nếu giá trị này không nguyên, số lần có xác suất lớn nhất là \(\lfloor (n + 1)p \rfloor\). Nếu bằng số nguyên \(m\), cả \(m - 1\) và \(m\) đều đạt cực đại.
+ Có thể kiểm tra bằng tỉ số: \[\dfrac{P(X = k + 1)}{P(X = k)} = \dfrac{(n - k)p}{(k + 1)(1 - p)} \quad \text{với } 0 \le k < n.\]
– Bước đi trên trục số: Nếu có \(k\) bước sang phải trong \(n\) bước dài 1 đơn vị, tọa độ cuối là \(2k - n\). Muốn đến vị trí \(x\), giải \(k = \dfrac{n + x}{2}\) rồi kiểm tra \(k\) nguyên và \(0 \le k \le n\).
– Ba loại kết quả: Với \(a + b + c = n\), số chuỗi có số lần xuất hiện từng loại là \(a, b, c\) bằng \(\dfrac{n!}{a!b!c!}\). Nếu các lượt độc lập và xác suất từng loại là \(p_1, p_2, p_3\), nhân số chuỗi với \(p_1^a p_2^b p_3^c\).
3. Điều kiện dừng và điều kiện liên tiếp
– Dừng ở lượt \(m\) khi đủ \(r\) thành công: Lượt cuối phải thành công. Trong \(m - 1\) lượt đầu có đúng \(r - 1\) thành công. Xác suất là:
\[C_{m-1}^{r-1} p^r (1 - p)^{m-r} \quad \text{với } m \ge r \ge 1.\]
– Hai bên đấu đến khi phân thắng bại: Xác định các lượt trước vẫn hòa và lượt cuối tạo ra kết quả thắng. Dùng quy tắc nhân khi các lượt độc lập.
– Giới hạn cụm liên tiếp: Xếp trước các ký hiệu làm vách để tạo khe. Gọi \(x_i\) là số ký hiệu chèn vào khe thứ \(i\). Điều kiện cụm dài tối đa \(d\) trở thành \(0 \le x_i \le d\). Dùng chia kẹo và bao hàm, loại trừ để đếm.
– Kiểm tra trước khi tính: Kiểm tra hai điều kiện trước khi dùng công thức Bernoulli (các lượt độc lập và xác suất thành công không đổi). Nếu \(p = 0\) thì \(X = 0\) chắc chắn. Nếu \(p = 1\) thì \(X = n\) chắc chắn.
– Dừng ở lượt \(m\) khi đủ \(r\) thành công: Lượt cuối phải thành công. Trong \(m - 1\) lượt đầu có đúng \(r - 1\) thành công. Xác suất là:
\[C_{m-1}^{r-1} p^r (1 - p)^{m-r} \quad \text{với } m \ge r \ge 1.\]
– Hai bên đấu đến khi phân thắng bại: Xác định các lượt trước vẫn hòa và lượt cuối tạo ra kết quả thắng. Dùng quy tắc nhân khi các lượt độc lập.
– Giới hạn cụm liên tiếp: Xếp trước các ký hiệu làm vách để tạo khe. Gọi \(x_i\) là số ký hiệu chèn vào khe thứ \(i\). Điều kiện cụm dài tối đa \(d\) trở thành \(0 \le x_i \le d\). Dùng chia kẹo và bao hàm, loại trừ để đếm.
– Kiểm tra trước khi tính: Kiểm tra hai điều kiện trước khi dùng công thức Bernoulli (các lượt độc lập và xác suất thành công không đổi). Nếu \(p = 0\) thì \(X = 0\) chắc chắn. Nếu \(p = 1\) thì \(X = n\) chắc chắn.
B. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1 (TME): Một hệ thống thử nghiệm tự động thực hiện liên tiếp một dãy gồm 13 phép thử độc lập trong cùng điều kiện. Mỗi phép thử chỉ có hai khả năng: Thành công (\(S\)) hoặc Thất bại (\(F\)). Hỏi có tất cả bao nhiêu chuỗi kết quả khác nhau mà trong đó có đúng 5 lần xuất hiện kết quả Thành công?
Ví dụ 2 (TME): Gieo một đồng xu cân đối và đồng chất 8 lần liên tiếp một cách độc lập. Gọi \(P\) là xác suất để có đúng 4 lần xuất hiện mặt sấp. Tính \(T = 12800 \cdot P\).
Ví dụ 3 (TME): Trong kỹ thuật truyền dẫn tín hiệu số, xét tập hợp tất cả các chuỗi bit nhị phân có độ dài gồm 13 ký tự (mỗi ký tự chỉ nhận giá trị 0 hoặc 1). Hỏi có tất cả bao nhiêu chuỗi bit nhị phân mà trong đó số lượng bit 1 nhiều hơn số lượng bit 0?
Ví dụ 4 (TME): Một vận động viên bắn súng thực hiện 6 phát bắn độc lập vào một bia mục tiêu cố định. Biết rằng xác suất để bắn trúng bia trong mỗi phát bắn đều bằng \(p = 0,5\). Gọi \(P\) là xác suất để vận động viên bắn trúng bia từ 4 phát trở lên (tức trúng 4, 5 hoặc cả 6 phát). Tính \(T = 6400 \cdot P\).
Ví dụ 5 (TME): Một chất điểm bắt đầu chuyển động từ gốc tọa độ \(O(0)\) trên trục số thực \(Ox\). Tại mỗi bước di chuyển, chất điểm chỉ có thể nhảy sang phải một đoạn \(+1\) đơn vị hoặc nhảy sang trái một đoạn \(-1\) đơn vị. Hỏi sau đúng 14 bước di chuyển, có tất cả bao nhiêu quỹ đạo chuyển động khác nhau để chất điểm dừng lại chính xác tại vị trí có tọa độ \(x = 4\)?