Dưới đây là nội dung chi tiết đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi môn Toán lớp 9 năm học 2026 - 2027 của UBND Phường Trường Vinh (Vòng 1). Đề thi bao gồm các dạng bài tập nâng cao về rút gọn biểu thức, chứng minh đẳng thức, giải phương trình và hệ phương trình, bài toán chia hết trong số học, hình học phẳng và toán tư duy tổ hợp tô màu. Thời gian làm bài thi là 150 phút.
ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9 - VÒNG 1
Câu 1. (3,0 điểm)
a) Cho biểu thức:
\[ A = \frac{x^2 - 2x}{x^3 - 1} + \frac{x+1}{x^3 + x^2 + x} + \frac{1 + 2x^2 - 2x}{x^4 - x} \]
với \( x \neq 0; x \neq 1 \).
Rút gọn biểu thức \( A \) và tìm tất cả các giá trị của \( x \) sao cho giá trị của \( A \) là một số tự nhiên.
b) Cho số thực \(x\) thỏa mãn: \((x-1)^3 = 9x\). Chứng minh rằng: nếu \(y = x^2 + x\) thì \((y+1)^3 = 27y^2\).
a) Cho biểu thức:
\[ A = \frac{x^2 - 2x}{x^3 - 1} + \frac{x+1}{x^3 + x^2 + x} + \frac{1 + 2x^2 - 2x}{x^4 - x} \]
với \( x \neq 0; x \neq 1 \).
Rút gọn biểu thức \( A \) và tìm tất cả các giá trị của \( x \) sao cho giá trị của \( A \) là một số tự nhiên.
b) Cho số thực \(x\) thỏa mãn: \((x-1)^3 = 9x\). Chứng minh rằng: nếu \(y = x^2 + x\) thì \((y+1)^3 = 27y^2\).
Câu 2. (4,0 điểm)
a) Giải phương trình:
\[ \left(\frac{x+3}{x-2}\right)^2 + 6\left(\frac{x-3}{x+2}\right)^2 = \frac{7(x^2-9)}{x^2-4} \]
b) Giải hệ phương trình:
\[ \begin{cases} 2x^2 - 2xy + y^2 = x \\ 4x^2 - 5xy + 2y^2 = y \end{cases} \]
a) Giải phương trình:
\[ \left(\frac{x+3}{x-2}\right)^2 + 6\left(\frac{x-3}{x+2}\right)^2 = \frac{7(x^2-9)}{x^2-4} \]
b) Giải hệ phương trình:
\[ \begin{cases} 2x^2 - 2xy + y^2 = x \\ 4x^2 - 5xy + 2y^2 = y \end{cases} \]
Câu 3. (3,0 điểm)
a) Biết \( x, y \) là các số nguyên thỏa mãn: \( x^2 - xy + 4y^2 \) chia hết cho 25. Chứng minh: \( x^2 + xy + 4y^2 \) chia hết cho 25.
b) Tìm cặp số nguyên tố \((p, q)\) thỏa mãn \(p^2 - 1\) chia hết cho \(q\) và \(q^2 - 4\) chia hết cho \(p\).
c) Biết \(a+b\) là số nguyên và \(a^3+b^3 = 2\). Tính \(a+b\).
a) Biết \( x, y \) là các số nguyên thỏa mãn: \( x^2 - xy + 4y^2 \) chia hết cho 25. Chứng minh: \( x^2 + xy + 4y^2 \) chia hết cho 25.
b) Tìm cặp số nguyên tố \((p, q)\) thỏa mãn \(p^2 - 1\) chia hết cho \(q\) và \(q^2 - 4\) chia hết cho \(p\).
c) Biết \(a+b\) là số nguyên và \(a^3+b^3 = 2\). Tính \(a+b\).
Câu 4. (2,0 điểm)
Bạn An viết ngẫu nhiên một số tự nhiên có 3 chữ số.
a) Tính xác suất của biến cố \( A \): “Số viết được chia hết cho 11”.
b) Tính xác suất của biến cố \( B \): “Số viết được chia hết cho 11, có 3 chữ số khác nhau, các chữ số đều là số lẻ”.
Bạn An viết ngẫu nhiên một số tự nhiên có 3 chữ số.
a) Tính xác suất của biến cố \( A \): “Số viết được chia hết cho 11”.
b) Tính xác suất của biến cố \( B \): “Số viết được chia hết cho 11, có 3 chữ số khác nhau, các chữ số đều là số lẻ”.
Câu 5. (7,0 điểm)
Cho \( \triangle ABC \) nhọn (\( AB < AC \)), có \( I \) là giao điểm của ba đường phân giác. Gọi \( D, E, F \) lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ \( I \) đến \( BC, CA, AB \). Đường phân giác trong của góc \( B \) cắt \( DE, EF \) lần lượt tại \( Q, N \).
a) Chứng minh rằng: \( \widehat{CIN} = \widehat{CEN} \) và \( CN \perp BN \).
b) Gọi \( M \) là trung điểm của \( AC \), \( L \) là trung điểm của \( BC \). Chứng minh rằng \( M, N, L \) thẳng hàng và tam giác \( MNQ \) cân.
c) Tia \( AI \) cắt cạnh \( DE \) tại \( P \). Chứng minh: \( EP \cdot IA = BC \cdot IQ \).
Cho \( \triangle ABC \) nhọn (\( AB < AC \)), có \( I \) là giao điểm của ba đường phân giác. Gọi \( D, E, F \) lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ \( I \) đến \( BC, CA, AB \). Đường phân giác trong của góc \( B \) cắt \( DE, EF \) lần lượt tại \( Q, N \).
a) Chứng minh rằng: \( \widehat{CIN} = \widehat{CEN} \) và \( CN \perp BN \).
b) Gọi \( M \) là trung điểm của \( AC \), \( L \) là trung điểm của \( BC \). Chứng minh rằng \( M, N, L \) thẳng hàng và tam giác \( MNQ \) cân.
c) Tia \( AI \) cắt cạnh \( DE \) tại \( P \). Chứng minh: \( EP \cdot IA = BC \cdot IQ \).
Câu 6. (1,0 điểm)
Bạn An tô màu các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 2027, mỗi số được tô bởi một trong ba màu xanh, đỏ, vàng thỏa mãn các điều kiện:
1. Ba số tự nhiên liên tiếp bất kỳ có đủ cả ba màu xanh, đỏ, vàng.
2. Tồn tại một số xanh và một số vàng có tổng bằng 2026.
Hỏi số 2027 được tô màu gì?
Bạn An tô màu các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 2027, mỗi số được tô bởi một trong ba màu xanh, đỏ, vàng thỏa mãn các điều kiện:
1. Ba số tự nhiên liên tiếp bất kỳ có đủ cả ba màu xanh, đỏ, vàng.
2. Tồn tại một số xanh và một số vàng có tổng bằng 2026.
Hỏi số 2027 được tô màu gì?