Tóm tắt đề thi
Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán năm học 2026 - 2027 tỉnh Lâm Đồng bao gồm 5 câu hỏi tự luận phân hóa cao với tổng điểm 20. Nội dung đề kiểm tra các kiến thức về dãy số và giới hạn, đa thức hệ số nguyên, lý thuyết số, hình học phẳng tiếp xúc và bài toán tô màu tổ hợp.
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Câu 1 (4,0 điểm). Cho dãy số \((u_n)\) hoá mãn \(u_1 = 2027\) và \(u_n = \frac{1}{2}\left(u_{n-1} + \frac{2026}{u_{n-1}}\right), \forall n \ge 2\).
a) Chứng minh rằng \(u_n \ge \sqrt{2026}, \forall n \ge 1\).
b) Chứng minh rằng dãy số \((u_n)\) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
Câu 2 (4,0 điểm). Cho đa thức \(P(x)\) có các hệ số nguyên, biết rằng tồn tại ba số nguyên \(x_1, x_2, x_3\) sao cho \(P(x_1) = 2025\), \(P(x_2) = 2026\) và \(P(x_3) = 2027\).
a) Chứng minh rằng \(x_2\) là nghiệm nguyên duy nhất của phương trình \(P(x) = 2026\).
b) Chứng minh rằng phương trình \(P(x) = 2029\) có không quá một nghiệm nguyên.
Câu 3 (4,0 điểm). Cho \(A(n) = 10^{10^n} - 9^n\) với \(n \in \mathbb{N}^*\).
a) Tìm một giá trị của \(n\) sao cho \(A(n)\) có hai chữ số tận cùng giống nhau.
b) Chứng minh rằng nếu \(A(n)\) có \(k\) chữ số tận cùng giống nhau thì \(k \le 4\).
Câu 4 (4,0 điểm). Cho tam giác nhọn \(ABC\) (\(AB < AC\)) ngoại tiếp đường tròn \((I)\). Gọi \(D, E, F\) lần lượt là tiếp điểm của đường tròn \((I)\) với \(BC, CA, AB\). Đường thẳng \(AI\) cắt \(DE, DF\) lần lượt tại \(P, Q\). Đường tròn đường kính \(PQ\) cắt \(BC\) tại \(M, N\).
a) Chứng minh rằng \(BP\) song song với \(CQ\).
b) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác \(AMN\) tiếp xúc với đường tròn \((I)\).
Câu 5 (4,0 điểm). Bạn Hải tô màu \(n\) số nguyên dương đầu tiên bởi đúng \(k\) màu, mỗi số chỉ tô đúng một màu (\(k \le n\)). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(n\) sao cho với mọi cách tô luôn tồn tại hai số được tô cùng màu mà hiệu của chúng là số chính phương trong mỗi trường hợp sau:
a) \(k = 2\).
b) \(k = 3\).