1. Một số hệ phương trình đại số đặc biệt có xuất xứ từ hình học
Bài toán 1. Giải và biện luận hệ phương trình sau:
\[\frac{x^2 - yz}{a} = \frac{y^2 - zx}{b} = \frac{z^2 - xy}{c}, \quad (a \neq 0, b \neq 0, c \neq 0) \quad (1)\]Lời giải sơ lược:
Đặt \(\frac{1}{t}\) là giá trị chung của ba tỷ số trong hệ phương trình (1) rồi tính \(t\) (ẩn phụ) và \(x, y, z\). Ta được:
\[a = t(x^2 - yz), \quad b = t(y^2 - zx), \quad c = t(z^2 - xy)\]Từ đó suy ra (nếu \(t < \infty\)):
\[a^2 - bc = t^2 \cdot x(x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz) \quad (2)\]và hai hệ thức nữa tương tự (đối với \(b^2 - ca\) và \(c^2 - ab\)), thu được nhờ hoán vị vòng quanh \(a \to b \to c \to a\) và \(x \to y \to z \to x\).
Cuối cùng ta đi đến kết quả sau đây:
Trả lời:
1°) Nếu ba số \(a, b, c\) khác không đã cho và khác nhau đôi một thì \(x, y, z\) cũng vậy (\(x \neq 0, y \neq 0, z \neq 0\); \(x, y, z\) đôi một khác nhau). Khi đó, \(t\) cũng khác không và hệ phương trình (1) là vô định, có biểu thức nghiệm như sau:
\[\frac{x}{a^2 - bc} = \frac{y}{b^2 - ca} = \frac{z}{c^2 - ab} = \lambda \quad (\lambda \text{ tùy ý}) \quad (3)\]2°) Nếu \(a = b = c\) thì hệ phương trình (1) cũng là vô định, vì khi đó \(x = y = z\) và lấy giá trị tùy ý, kể cả 0.
Nhận xét:
1°) Biểu thức nghiệm của hệ (1) có tính chất đối xứng, được suy ra từ (1) bằng cách thay các hằng số \(a, b, c\) lần lượt bởi các ẩn \(x, y, z\), và ngược lại. Ta nói rằng hệ (1) có tính chất đối hợp.
2°) Từ lời giải của hệ (1) ta dễ dàng suy ra hai hệ phương trình sau (hệ ba phương trình ba ẩn) có nghiệm duy nhất:
\[\begin{cases} \frac{x^2 - yz}{a} = \frac{y^2 - zx}{b} = \frac{z^2 - xy}{c} \\ x + y + z = a + b + c \end{cases} \quad (abc \neq 0) \quad (1')\] \[\begin{cases} \frac{x^2 - yz}{a} = \frac{y^2 - zx}{b} = \frac{z^2 - xy}{c} \\ xyz = abc \end{cases} \quad (abc \neq 0) \quad (1'')\]Bài toán 2. Giải hệ phương trình (ẩn là \(x, y, z\)):
\[\frac{x-a}{a'-a} = \frac{y-b}{b'-b} = \frac{z-c}{c'-c} = (x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 \quad (*)\]Đồng thời, chứng minh rằng: Nếu \(a = b = c = 0\) và giữa \(a', b', c'\) có hệ thức
\[A(a'^2 + b'^2 + c'^2) + 2(pa' + qb' + rc') + B = 0 \quad (i)\](trong đó \(A \neq 0, B \neq 0; a' \neq a, b' \neq b, c' \neq c; p \neq 0, q \neq 0, r \neq 0\)) thì giữa \(x, y, z\) cũng có hệ thức sau đây:
\[B(x^2 + y^2 + z^2) + 2(px + qy + rz) + A = 0 \quad (ii)\]Hướng dẫn: Đặt \(t\) là giá trị chung của ba tỉ số ở vế trái của (*), cũng có nghĩa đặt \(t = (x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2\) là ẩn phụ. Lưu ý rằng đặt ẩn phụ như thế này cũng là phương pháp chung để giải hệ phương trình đại số có dạng (*) như hệ phương trình trên đây. Sau khi thực hiện một số phép biến đổi đại số tương đương ta thu được đáp số của bài toán.
Trả lời: Biểu thức nghiệm của hệ có thể được viết (sắp đặt) dưới dạng sau đây:
\[\frac{a'-a}{x-a} = \frac{b'-b}{y-b} = \frac{c'-c}{z-c} = (a'-a)^2 + (b'-b)^2 + (c'-c)^2 \quad (**)\]