1. Đặt bài toán và Định nghĩa cơ bản
Định nghĩa 8.1. Một phương trình đa thức bậc \(n\) một ẩn là phương trình có dạng:
=\[t^n - a_1 t^{n-1} + \dots + (-1)^n a_n = 0\]Trong đó \(a_1, \dots, a_n \in k\) là các tham số thuộc trường \(k\) (yêu cầu \(k\) chứa căn bậc ba nguyên thủy của đơn vị) và \(t\) là ẩn số.
Giải phương trình là tìm công thức tổng quát biểu diễn ẩn \(t\) qua các tham số \(a_1, \dots, a_n\) nhờ các phép toán đại số cơ bản \((+, -, \times, :)\) và phép khai căn.
Nhận xét 8.2. Một số vấn đề đặt ra:
- Phương trình bậc \(n\) có thể có tối đa \(n\) nghiệm. Việc tìm công thức tổng quát áp dụng cho nghiệm nào?
- Sự tồn tại của một công thức tổng quát đại số là khởi đầu hình thành lý thuyết Galois.
2. Định lý Bézout, Công thức Viète và Trường các phần tử bất biến
Giả sử \(x_1, x_2, \dots, x_n\) là các nghiệm của phương trình (không nhất thiết phân biệt). Theo định lý Bézout, ta có đẳng thức:
\[t^n - a_1 t^{n-1} + \dots + (-1)^n a_n = (t - x_1)(t - x_2) \dots (t - x_n)\]So sánh hệ số ở hai vế, ta thu được công thức Viète:
\[\begin{cases} a_1 = x_1 + x_2 + \dots + x_n \\ a_2 = x_1 x_2 + \dots + x_{n-1}x_n \\ \dots \\ a_n = x_1 x_2 \dots x_n \end{cases}\]Xét các trường phân thức hữu tỉ và nhóm đối xứng:
- Đặt \(K = k(a_1, a_2, \dots, a_n)\) là trường các phân thức hữu tỉ \(n\) biến \(a_1, \dots, a_n\).
- Đặt \(L = k(x_1, x_2, \dots, x_n)\) là trường các phân thức hữu tỉ \(n\) biến \(x_1, \dots, x_n\).
- Đặt \(\mathfrak{S}_n\) là nhóm các hoán vị (nhóm đối xứng) của tập hợp \(\{1, 2, \dots, n\}\).
Mỗi hoán vị \(\sigma \in \mathfrak{S}_n\) cảm sinh tự đẳng cấu trường \(\sigma: L \to L\) xác định bởi \(x_i \mapsto x_{\sigma(i)}\).
Mọi đa thức \(P(x_1, \dots, x_n) \in k[x_1, \dots, x_n]\) bất biến đối với tác động của \(\mathfrak{S}_n\) (tức là \(P(x_1, \dots, x_n) = P(x_{\sigma(1)}, \dots, x_{\sigma(n)})\) với mọi \(\sigma \in \mathfrak{S}_n\)) đều biểu diễn được thành một đa thức của \(a_1, a_2, \dots, a_n\).
Từ đó, \(K\) là trường con chứa các phần tử bất biến của \(L\) dưới tác động của \(\mathfrak{S}_n\). Do đó \(L\) là một mở rộng Galois của \(K\) và \(L\) là một \(K\)-không gian vectơ có chiều bằng \(n!\).
Ví dụ 8.3. Biểu thức \(a_1^2 + a_2\) là một đa thức bất biến khi xem là đa thức của các biến \(x_1, \dots, x_n\).