TÓM TẮT NỘI DUNG
Chuyên đề nghiên cứu bài toán xấp xỉ một số thực \(\alpha\) bằng các số hữu tỉ \(\frac{p}{q}\). Nội dung xem xét độ chính xác của xấp xỉ khi mẫu số \(q\) bị khống chế, phân tích chi tiết hai trường hợp: số hữu tỉ và số vô tỉ (Mệnh đề Dirichlet).
1. Xấp xỉ số thực bằng số hữu tỉ
Cho \(\alpha \in \mathbb{R}\) là một số thực. Ta đã biết có thể tìm các số hữu tỉ \(\frac{p}{q}\) gần \(\alpha\) một cách tuỳ ý, tức là có thể làm cho sai số \(\left| \alpha - \frac{p}{q} \right|\) nhỏ tuỳ ý.
Tuy nhiên, để số hữu tỉ \(\frac{p}{q}\) càng tiến gần đến \(\alpha\) thì tử số \(p\) và mẫu số \(q\) thường có xu hướng ngày càng lớn. Đặt ra câu hỏi: Khi ta xấp xỉ \(\alpha\) bởi các số hữu tỉ có mẫu số không quá lớn thì mức độ xấp xỉ tốt đến đâu?
Quy ước: Biểu diễn số hữu tỉ dưới dạng \(\frac{p}{q}\) với mẫu số \(q\) luôn là một số nguyên dương.
Trường hợp 1: \(\alpha = \frac{m}{n} \in \mathbb{Q}\)
Một số hữu tỉ \(\alpha\) hiển nhiên được xấp xỉ chính xác nhất bởi chính nó. Nếu dùng một số hữu tỉ khác \(\frac{p}{q} \neq \frac{m}{n}\) (với \(q > 0\)) để xấp xỉ thì:
\[\left| \frac{m}{n} - \frac{p}{q} \right| = \left| \frac{mq - np}{nq} \right| \ge \frac{1}{nq}\]Bất đẳng thức trên xảy ra do \(|mq - np|\) là một số nguyên dương nên \(|mq - np| \ge 1\). Như vậy, đối với số hữu tỉ, cách duy nhất để \(\frac{p}{q}\) tiến dần tới \(\alpha\) là cho mẫu số \(q \to \infty\).
2. Trường hợp \(\alpha\) là số vô tỉ và Mệnh đề Dirichlet
Mệnh đề 5.1 (Dirichlet): Giả sử \(\alpha\) là một số vô tỉ. Khi đó tồn tại vô số số hữu tỉ \(\frac{p}{q}\) sao cho:
\[\left| \alpha - \frac{p}{q} \right| < \frac{1}{q^2}\]Chứng minh:
Cố định một số nguyên dương \(n\). Ta xét \(n + 1\) số dạng \(i\alpha - [i\alpha]\) với \(i \in \{0, 1, \dots, n\}\). Các số này đều thuộc nửa khoảng \([0; 1)\).
Chia nửa khoảng \([0; 1)\) thành \(n\) bán khoảng bằng nhau như sau:
\[[0; 1) = \left[ 0; \frac{1}{n} \right) \cup \left[ \frac{1}{n}; \frac{2}{n} \right) \cup \dots \cup \left[ \frac{n - 1}{n}; 1 \right)\]Theo nguyên lý Dirichlet, tồn tại hai chỉ số \(0 \le i < j \le n\) sao cho \(i\alpha - [i\alpha]\) và \(j\alpha - [j\alpha]\) cùng nằm trong một bán khoảng \(\left[ \frac{k}{n}; \frac{k+1}{n} \right)\) với \(0 \le k < n\). Do đó:
\[|(j - i)\alpha - [j\alpha] + [i\alpha]| < \frac{1}{n}\]Đặt \(p = [j\alpha] - [i\alpha]\) và \(q = j - i\). Ta được \(p, q \in \mathbb{Z}\) với \(0 < q \le n\) và thỏa mãn:
\[\left| \alpha - \frac{p}{q} \right| < \frac{1}{nq} \le \frac{1}{q^2}\]Để chứng minh tồn tại vô hạn số hữu tỉ \(\frac{p}{q}\) thỏa mãn điều kiện: Với mỗi số nguyên dương \(n\), luôn tồn tại các số nguyên \(p_n, q_n\) với \(q_n \le n\) sao cho \(\left| \alpha - \frac{p_n}{q_n} \right| < \frac{1}{n q_n} \le \frac{1}{q_n^2}\). Vì \(\alpha\) là số vô tỉ nên \(q_n \alpha - p_n \neq 0\). Do đó, với mọi \(n \in \mathbb{N}^*\), ta chọn được \(N > n\) đủ lớn để \(|q_n \alpha - p_n| > \frac{1}{N}\)...