Nội dung tổng quan: Đề minh họa kiểm tra giữa học kì 1 môn Toán 9 của trường THCS Giảng Võ 2 - Hà Nội bao gồm 4 bài toán tự luận với thời gian làm bài chuẩn, bao quát các chủ đề:
- Giải phương trình bậc nhất, quy về bậc nhất, phương trình chứa ẩn ở mẫu và hệ phương trình quy về bậc nhất hai ẩn.
- Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình (toán tìm số và toán chuyển động).
- Ứng dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, tỉ số lượng giác vào bài toán thực tế và hình học tổng hợp.
- Bài toán thực tế tối ưu hóa lợi nhuận kinh doanh (bài toán cực trị đại số).
ĐỀ BÀI
Bài I (3,0 điểm) Giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình sau:
a) \((x - 1)^2 = x(x + 3) - 2x\)
b) \((4x - 3)(x + 4) = x^2 - 16\)
c) \(\dfrac{x + 1}{x - 3} - \dfrac{x - 1}{x} = \dfrac{7}{x^2 - 3x}\)
d) \(\begin{cases} 2(x + y) + 3(x - y) = 4 \\ (x + y) + 2(x - y) = 5 \end{cases}\)
Bài II (2,5 điểm) Giải các bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc lập hệ phương trình:
1. Tìm hai số tự nhiên biết rằng tổng của chúng bằng 1006 và nếu lấy số lớn chia cho số nhỏ thì được thương là 2 và số dư là 124.
2. Một ô tô đi từ A đến B với một vận tốc và trong một thời gian đã định trước. Nếu vận tốc của ô tô giảm 10 km/h thì đến B chậm 1 giờ so với dự định. Nếu vận tốc ô tô tăng 5 km/h thì sẽ đến B sớm 20 phút so với dự định. Tính vận tốc và thời gian ô tô dự định đi từ A đến B?
Bài III (4,0 điểm)
1. Tia nắng chiếu qua nóc của một tòa nhà hợp với mặt đất một góc \(\alpha\) (hình vẽ). Cho biết tòa nhà cao 21 m và bóng của nó trên mặt đất dài 15 m. Tính góc \(\alpha\) (Kết quả tính theo độ và làm tròn đến hàng đơn vị).
2. Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), đường cao \(AH\).
a) Nếu \(\widehat{ACB} = 30^\circ\) và \(BC = 20\text{ cm}\). Hãy tính \(\widehat{ABC}\); \(AB\); \(AC\). (Số đo góc làm tròn đến độ)
b) Kẻ \(HD, HE\) lần lượt vuông góc với \(AB\) và \(AC\) (\(D\) thuộc \(AB\), \(E\) thuộc \(AC\)). Chứng minh các điểm \(A, E, H, D\) cùng thuộc đường tròn và \(AB \cdot AD = AH^2\). Từ đó suy ra \(AB \cdot AD = AE \cdot AC\).
c) Lấy điểm \(M\) nằm giữa \(E\) và \(C\), kẻ \(AI\) vuông góc với \(MB\) tại \(I\). Chứng minh: \[\sin \widehat{AMB} \cdot \sin \widehat{ACB} = \dfrac{HI}{CM}\]
Bài IV (0,5 điểm)
Cửa hàng nhà bác Dũng chuyên kinh doanh máy tính tại Hà Nội. Một loại máy tính có giá nhập vào mỗi chiếc là 18 triệu đồng và bán ra với giá 22 triệu đồng. Với giá bán như trên thì một năm số lượng máy tính bán được dự kiến là 500 chiếc. Để tăng thêm lượng tiêu thụ dòng máy tính này, bác Dũng dự định giảm giá bán và ước lượng cứ giảm 200 nghìn đồng một chiếc thì số lượng máy tính bán ra trong một năm sẽ tăng 50 chiếc. Vậy bác Dũng phải bán với giá bao nhiêu để sau khi giảm giá lợi nhuận thu được sẽ cao nhất?