Tóm tắt đề thi: Đề kiểm tra giữa học kì 1 môn Toán lớp 9 trường THCS & THPT Lương Thế Vinh (Hà Nội) năm học 2026 - 2027 gồm 5 bài toán tự luận với thời gian làm bài 90 phút. Nội dung bao gồm: giải phương trình bậc hai, phương trình chứa ẩn ở mẫu, hệ phương trình quy về bậc nhất hai ẩn; giải bất phương trình và bài toán cước phí xe công nghệ; giải bài toán thực tế bằng cách lập hệ phương trình; bài toán hình học ứng dụng tỉ số lượng giác cùng các tính chất về đường tròn, trực tâm; bài toán tìm giá trị lớn nhất trong kinh tế nông nghiệp.
ĐỀ BÀI
Bài 1. (2 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình sau:
a) \((x-4)^2 = (4-x) \cdot (8-7x)\)
b) \[\frac{x+2}{2x+3} + \frac{5-3x}{2-x} = \frac{3x^2-7x-19}{2x(x-2)+3x-6}\]
c) \[\begin{cases} \dfrac{4}{|x+1|} - \dfrac{7}{x-y+3} = 9 \\ \dfrac{5}{|x+1|} + \dfrac{2}{x-y+3} = \dfrac{1}{2} \end{cases}\]
Bài 2. (2 điểm)
1. a) Tìm các nghiệm là số tự nhiên của bất phương trình: \(3x+1 \le 5\).
b) Giải bất phương trình sau: \[\frac{1-3x}{6} - x + 2 > \frac{x+5}{-8}\]
2. Một hãng xe công nghệ áp dụng cước phí: \(20\,000\) đồng cho \(1\text{ km}\) đầu tiên và \(14\,000\) đồng cho mỗi kilômét tiếp theo. Bác Nam có \(150\,000\) đồng và muốn đi từ nhà đến cơ quan với khoảng cách bằng \(10\text{ km}\). Hỏi bác có đủ tiền để đi bằng hãng xe này không?
Bài 3. (2 điểm)
Để chuẩn bị quà khen thưởng cho học sinh đạt thành tích tốt trong học kỳ I, trường THCS & THPT LƯƠNG THẾ VINH dự định mua \(1500\) quyển vở và \(500\) cây bút. Theo giá niêm yết, tổng chi phí nhà trường phải trả là \(18\) triệu đồng. Nhân dịp đầu năm học mới, nhà sách thực hiện chương trình khuyến mãi: giảm giá \(10\%\) cho mỗi quyển vở và \(5\%\) cho mỗi cây bút. Nhờ đó, nhà trường chỉ cần trả tổng cộng \(16{,}35\) triệu đồng. Tính giá niêm yết của mỗi quyển vở và mỗi cây bút.
Bài 4. (3,5 điểm)
1) Trong một buổi tập luyện, một tàu ngầm ở trên mặt biển bắt đầu lặn xuống ở vị trí \(A\) và di chuyển theo một đường thẳng tạo với mặt nước biển một góc \(23^\circ\) đến vị trí \(B\). Giả sử tốc độ trung bình của tàu là \(15\text{ km/h}\). Hỏi sau bao lâu kể từ lúc bắt đầu lặn thì tàu ở độ sâu \(195\text{ m}\) so với mặt biển? (làm tròn kết quả đến phút).
2) Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) (\(AB < AC\)) có đường cao \(AD\) (\(D \in BC\)). Gọi \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AD\). Đường thẳng đi qua điểm \(M\) vuông góc với \(BM\) cắt \(AB\) tại \(H\) và cắt đường thẳng \(AC\) tại \(E\).
a) Chứng minh bốn điểm \(A, B, E, M\) cùng thuộc một đường tròn, chỉ rõ tâm \(O\) và bán kính của đường tròn này.
b) Đường thẳng \(BM\) cắt \(AC\) tại \(F\). Gọi \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(HF\). Chứng minh \(FA \cdot FE = FM \cdot FB\) và \(AI \perp AO\).
c) Gọi \(N\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AC\). Chứng minh \(A\) là trung điểm của đoạn thẳng \(EN\).
Bài 5. (0,5 điểm)
Một mảnh vườn đang trồng \(50\) cây bưởi Diễn, biết trung bình \(1\) cây thu hoạch được \(75\) quả mỗi năm. Để tăng thêm thu hoạch, chủ vườn dự định trồng thêm một số cây bưởi Diễn trên mảnh vườn đó. Biết rằng nếu cứ trồng thêm một cây thì do mật độ dày hơn, trung bình mỗi cây trong vườn sẽ cho thu hoạch giảm đi \(1\) quả mỗi năm. Hỏi nên trồng thêm bao nhiêu cây bưởi Diễn để tổng sản lượng thu hoạch của mảnh vườn trong một năm là lớn nhất?