I. NỘI DUNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 9
Câu 1 (3,0 điểm):
a) Tìm tất cả các số nguyên \( x, y \) thỏa mãn đẳng thức: \( x + xy = y + 4 \).
b) Xác định số tự nhiên \( n \) sao cho \( n + 3 \) là số nguyên tố đồng thời biểu thức \( A = 2n + 7 \) là lập phương của một số tự nhiên.
Câu 2 (6,0 điểm):
a) Rút gọn biểu thức đại số: \( A = \left( \frac{1}{1-x} + \frac{2}{x+1} - \frac{5-x}{1-x^2} \right) : \frac{1-2x}{x^2-1} \)
b) Giải phương trình bậc hai: \( x^2 - x - 30 = 0 \)
c) Giải hệ phương trình sau: \[ \begin{cases} \frac{2x}{x+1} + \frac{y}{y+1} = 3 \\ \frac{x}{x+1} + \frac{3y}{y+1} = -1 \end{cases} \]
Câu 3 (3,0 điểm):
a) Cho đa thức \( P = 3x^3 + 4x^2 - 8x + 1 \). Tính giá trị của biểu thức \( P \) biết rằng \( x^2 + x - 3 = 0 \).
b) Một hộp chứa 8 chiếc thẻ được ghi các số tự nhiên từ 1 đến 8. Rút ngẫu nhiên cùng lúc 2 chiếc thẻ. Tính xác suất để tích của hai số trên cặp thẻ thu được là một số chẵn.
c) Cho thửa đất dạng hình vuông \( ABCD \) có độ dài cạnh là \( 30\text{m} \). Người ta muốn xây một mảnh vườn hình vuông \( EFGH \) sao cho các đỉnh \( E, F, G, H \) tương ứng nằm trên các cạnh \( AB, BC, CD, DA \) của hình vuông \( ABCD \). Xác định vị trí điểm \( E \) trên đoạn \( AB \) để diện tích mảnh vườn nhỏ nhất.
Câu 4 (6,0 điểm):
Cho hình thang \( ABCD \) (với \( AB \parallel CD \) và \( AB < CD \)). Qua đỉnh \( A \), vẽ đường thẳng song song với \( BC \) cắt đường chéo \( BD \) tại \( E \) và cắt đường thẳng \( CD \) tại \( K \). Qua đỉnh \( B \), vẽ đường thẳng song song với \( AD \) cắt đường chéo \( AC \) tại \( F \) và cắt đường thẳng \( CD \) tại \( I \). Chứng minh các đẳng thức và quan hệ sau:
a) \( DK = CI \)
b) \( EF \parallel CD \)
c) \( AB^2 = CD \cdot EF \)
Câu 5 (2,0 điểm):
Trong kì thi chọn học sinh giỏi toán có 6 thí sinh bước vào vòng chung khảo. Quy chế cuộc thi quy định mỗi thí sinh phải giải 5 bài tập. Mỗi lời giải đúng được tính 4 điểm, bài làm sai hoặc bỏ dở bị trừ 2 điểm. Biết điểm số tối thiểu của một thí sinh không dưới 0 điểm. Hãy chứng minh rằng chắc chắn có ít nhất 2 thí sinh đạt số điểm bằng nhau.