Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm học 2025-2026 Sở GD-ĐT Cao Bằng

Câu 1. (4,0 điểm)

a) Cho hàm số \(y = \frac{m-x}{x+2}\) có đồ thị \((C)\), với \(m\) là tham số và đường thẳng \(d: 2x + y - 1 = 0\). Tìm \(m\) để đồ thị hàm số \((C)\) cắt đường thẳng \(d\) tại hai điểm phân biệt \(A, B\) sao cho tam giác \(OAB\) có diện tích bằng \(1\), với \(O\) là gốc tọa độ.

b) Cho ba số thực dương \(x, y, z\) thỏa mãn \((x-z)^2 + (2y-z)^2 = 3z^2 + 4\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

\[ P = \frac{x^3(y-z) + 4y^3(x-2z) - z^3xy}{xy} \]

Câu 2. (6,0 điểm)

a) Phương trình dao động điều hòa của một vật tại thời điểm \(t\) giây được cho bởi công thức \(x(t) = A\cos(\omega t + \varphi)\), trong đó \(x(t)\) (cm) là li độ của vật tại thời điểm \(t\) giây, \(A\) là biên độ dao động (\(A > 0\)) và \(\varphi \in [-\pi; \pi]\) là pha ban đầu của dao động. Xét hai dao động điều hòa có phương trình lần lượt là:

\[ x_1(t) = 3\cos\left(\frac{\pi}{4}t + \frac{\pi}{3}\right) \text{ (cm)} \quad \text{và} \quad x_2(t) = 3\cos\left(\frac{\pi}{4}t - \frac{\pi}{6}\right) \text{ (cm)} \]

Xác định biên độ dao động và pha ban đầu của dao động tổng hợp \(x(t) = x_1(t) + x_2(t)\).

b) Cho hai số thực không âm \(x, y\) thỏa mãn \(x^2 + 4x - y + 3 = \log_2 \frac{\sqrt{2y+3}}{x+2}\). Chứng minh rằng \(2y = 2x^2 + 8x + 5\), từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

\[ P = e^{2x-1} + 4x^2 + 4x - 2y - 3 \]

c) Thống kê chiều cao (đơn vị cm) của các bạn học sinh nam khối 12 ở Trường Trung học phổ thông A người ta thu được bảng sau:

Trong số những học sinh trên, Trường Trung học phổ thông A muốn chọn 25% các bạn có chiều cao cao hơn các bạn còn lại để tham gia phục vụ đại hội thể thao của xã. Hỏi các bạn được chọn có chiều cao từ bao nhiêu cm trở lên?