Kỹ thuật thêm biến là một phương pháp tiếp cận hiệu quả trong việc xử lý các phương trình hàm có hai biến tự do \(x, y\). Bằng cách thiết lập thêm biến mới \(z\), ta tiến hành biến đổi một biểu thức phụ thuộc \(x, y, z\) theo hai cách diễn giải khác nhau. Từ kết quả so sánh, phương trình hàm mới theo các biến được rút gọn và việc chọn các giá trị đặc biệt cho \(z\) sẽ dẫn đến hệ thức đơn giản hơn, mở ra lời giải trọn vẹn cho bài toán.
1.1 Giải phương trình hàm bằng phương pháp thêm biến
1.1.1 Một số bài toán
Bài toán 1. Tìm tất cả các hàm số \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thoả mãn điều kiện:
\[f(x + f(y)) = 2y + f(x), \quad \forall x, y \in \mathbb{R} \quad (1)\]
Lời giải.
Giả sử \(f\) là hàm số thoả mãn các yêu cầu đề bài. Ta thêm biến mới \(z\) như sau: Với mọi \(x, y, z \in \mathbb{R}\), sử dụng (1) ta được: \[f(x + y + f(z)) = 2z + f(x + y), \quad \forall x, y, z \in \mathbb{R} \quad (2)\]Mặt khác cũng với mọi số thực \(x, y, z\) thì: \[f(x + y + f(z)) = f\left(x + f\left(z + f\left(\frac{y}{2}\right)\right)\right) = 2\left[z + f\left(\frac{y}{2}\right)\right] + f(x) \quad (3)\]Từ (2) và (3) suy ra: \[2z + f(x + y) = 2\left[z + f\left(\frac{y}{2}\right)\right] + f(x), \quad \forall x, y, z \in \mathbb{R}\]\[\iff f(x + y) = f(x) + 2f\left(\frac{y}{2}\right), \quad \forall x, y \in \mathbb{R} \quad (4)\]Từ (4) cho \(x = y = 0\) ta được \(f(0) = 0\). Từ (4) cho \(x = 0\) và sử dụng \(f(0) = 0\) ta được \(f(y) = 2f\left(\frac{y}{2}\right), \forall y \in \mathbb{R}\). Vậy (4) trở thành: \[f(x + y) = f(x) + f(y), \quad \forall x, y \in \mathbb{R} \quad (5)\]Từ (5), sử dụng kết quả về hàm số liên tục thoả mãn phương trình hàm Cauchy, ta được \(f(x) = ax, \forall x \in \mathbb{R}\), với \(a\) là hằng số thực. Thay vào (1) ta được: \[a(x + ay) = 2y + ax, \quad \forall x, y \in \mathbb{R} \quad (6)\]Từ (6) cho \(x = y = 1\) ta được \(a(1 + a) = 2 + a \iff a^2 = 2 \iff a = \pm\sqrt{2}\).
Vậy \(f(x) = \sqrt{2}x, \forall x \in \mathbb{R}\) ; \(f(x) = -\sqrt{2}x, \forall x \in \mathbb{R}\).
Thử lại thấy hai hàm số này thoả mãn các yêu cầu bài toán.
Giả sử \(f\) là hàm số thoả mãn các yêu cầu đề bài. Ta thêm biến mới \(z\) như sau: Với mọi \(x, y, z \in \mathbb{R}\), sử dụng (1) ta được: \[f(x + y + f(z)) = 2z + f(x + y), \quad \forall x, y, z \in \mathbb{R} \quad (2)\]Mặt khác cũng với mọi số thực \(x, y, z\) thì: \[f(x + y + f(z)) = f\left(x + f\left(z + f\left(\frac{y}{2}\right)\right)\right) = 2\left[z + f\left(\frac{y}{2}\right)\right] + f(x) \quad (3)\]Từ (2) và (3) suy ra: \[2z + f(x + y) = 2\left[z + f\left(\frac{y}{2}\right)\right] + f(x), \quad \forall x, y, z \in \mathbb{R}\]\[\iff f(x + y) = f(x) + 2f\left(\frac{y}{2}\right), \quad \forall x, y \in \mathbb{R} \quad (4)\]Từ (4) cho \(x = y = 0\) ta được \(f(0) = 0\). Từ (4) cho \(x = 0\) và sử dụng \(f(0) = 0\) ta được \(f(y) = 2f\left(\frac{y}{2}\right), \forall y \in \mathbb{R}\). Vậy (4) trở thành: \[f(x + y) = f(x) + f(y), \quad \forall x, y \in \mathbb{R} \quad (5)\]Từ (5), sử dụng kết quả về hàm số liên tục thoả mãn phương trình hàm Cauchy, ta được \(f(x) = ax, \forall x \in \mathbb{R}\), với \(a\) là hằng số thực. Thay vào (1) ta được: \[a(x + ay) = 2y + ax, \quad \forall x, y \in \mathbb{R} \quad (6)\]Từ (6) cho \(x = y = 1\) ta được \(a(1 + a) = 2 + a \iff a^2 = 2 \iff a = \pm\sqrt{2}\).
Vậy \(f(x) = \sqrt{2}x, \forall x \in \mathbb{R}\) ; \(f(x) = -\sqrt{2}x, \forall x \in \mathbb{R}\).
Thử lại thấy hai hàm số này thoả mãn các yêu cầu bài toán.
Bài toán 2. Tìm tất cả các hàm số \(f : \mathbb{Q} \to \mathbb{Q}\) thoả mãn điều kiện:
\[f(f(x) + y) = x + f(y), \quad \forall x, y \in \mathbb{Q} \quad (1)\]
Lời giải.
Giả sử \(f\) là hàm số thoả mãn các yêu cầu đề bài. Ta thêm biến mới \(z\) như sau: Với mọi \(x, y, z \in \mathbb{Q}\), sử dụng (1) ta được: \[f(f(x) + y + z) = x + f(y + z), \quad \forall x, y, z \in \mathbb{Q} \quad (2)\]Mặt khác cũng với mọi số hữu tỉ \(x, y, z\) thì \(f(f(z) + x) = z + f(x)\), do đó: \[f(y + (z + f(x))) = f(y + f(f(z) + x)) = f(z) + x + f(y) \quad (3)\]Từ (2) và (3) suy ra: \[f(y + z) = f(y) + f(z), \quad \forall y, z \in \mathbb{Q} \quad (4)\]Tương tự suy ra \(f(x) = ax, \forall x \in \mathbb{Q}\). Thay vào (1) ta rút ra \(a^2 = 1 \iff a = \pm 1\).
Thử lại thấy \(f(x) \equiv x\) và \(f(x) \equiv -x\) thoả mãn các yêu cầu đề bài.
Giả sử \(f\) là hàm số thoả mãn các yêu cầu đề bài. Ta thêm biến mới \(z\) như sau: Với mọi \(x, y, z \in \mathbb{Q}\), sử dụng (1) ta được: \[f(f(x) + y + z) = x + f(y + z), \quad \forall x, y, z \in \mathbb{Q} \quad (2)\]Mặt khác cũng với mọi số hữu tỉ \(x, y, z\) thì \(f(f(z) + x) = z + f(x)\), do đó: \[f(y + (z + f(x))) = f(y + f(f(z) + x)) = f(z) + x + f(y) \quad (3)\]Từ (2) và (3) suy ra: \[f(y + z) = f(y) + f(z), \quad \forall y, z \in \mathbb{Q} \quad (4)\]Tương tự suy ra \(f(x) = ax, \forall x \in \mathbb{Q}\). Thay vào (1) ta rút ra \(a^2 = 1 \iff a = \pm 1\).
Thử lại thấy \(f(x) \equiv x\) và \(f(x) \equiv -x\) thoả mãn các yêu cầu đề bài.
Bài toán 3 (Đề nghị thi Olympic 30/04/2004). Tìm tất cả các hàm liên tục \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) thỏa mãn:
\[f(xf(y)) = yf(x), \quad \forall x, y \in \mathbb{R} \quad (1)\]