Tóm tắt nội dung đề thi tự luận Mã đề 1254 môn Toán 12 - kì thi chọn học sinh giỏi thành phố Huế 2026-2027 (thi ngày 9/10/2026): Bài viết trình bày trọn vẹn 5 câu hỏi tự luận phân hóa cao bao gồm bài toán tối ưu sản lượng trong nuôi trồng thủy sản, ứng dụng hàm số mũ - logarit, bài toán đếm xác suất, khoảng cách và tối ưu đồ thị hàm số, cùng bài toán hình học không gian về hình chóp và đường đi ngắn nhất trên bề mặt khối đa diện.
Phần B. TỰ LUẬN (10,0 điểm)
Câu 1 (2,0 điểm).
Sau \(t\) tuần kể từ khi thả \(5000\) con cá giống vào ao, khối lượng trung bình mỗi con cá được cho bởi công thức:
\[w(t) = \frac{4 + t - 0,02t^2}{100} \text{ (kg)}, \quad (0 \le t \le 15)\]
Do tỷ lệ hao hụt tự nhiên, số lượng cá còn sống trong ao sau \(t\) tuần là:
\[P(t) = \frac{5000}{t + 10} \text{ (con)}, \quad (0 \le t \le 15)\]
Sản lượng cá \(y(t)\) thu được sau \(t\) tuần là tổng khối lượng cá còn sống trong ao. Hỏi sau bao nhiêu tuần thì sản lượng cá thu được đạt giá trị lớn nhất?
Sau \(t\) tuần kể từ khi thả \(5000\) con cá giống vào ao, khối lượng trung bình mỗi con cá được cho bởi công thức:
\[w(t) = \frac{4 + t - 0,02t^2}{100} \text{ (kg)}, \quad (0 \le t \le 15)\]
Do tỷ lệ hao hụt tự nhiên, số lượng cá còn sống trong ao sau \(t\) tuần là:
\[P(t) = \frac{5000}{t + 10} \text{ (con)}, \quad (0 \le t \le 15)\]
Sản lượng cá \(y(t)\) thu được sau \(t\) tuần là tổng khối lượng cá còn sống trong ao. Hỏi sau bao nhiêu tuần thì sản lượng cá thu được đạt giá trị lớn nhất?
Câu 2 (2,0 điểm).
a) Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), gọi \(A, B\) là hai điểm phân biệt thuộc đồ thị của hàm số \(y = 1 + \log_2 (x - 1)\) sao cho \(A\) là trung điểm \(OB\). Tính độ dài đoạn thẳng \(AB\).
b) Tìm các số thực dương \(a, b, c\) sao cho \(a \ne 1\) và thỏa mãn đồng thời các đẳng thức sau:
\[b + \log_2 a = 0, \quad \log_a b = \frac{1}{c}, \quad \log_2 \left(\frac{b}{c}\right) = c - b.\]
a) Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), gọi \(A, B\) là hai điểm phân biệt thuộc đồ thị của hàm số \(y = 1 + \log_2 (x - 1)\) sao cho \(A\) là trung điểm \(OB\). Tính độ dài đoạn thẳng \(AB\).
b) Tìm các số thực dương \(a, b, c\) sao cho \(a \ne 1\) và thỏa mãn đồng thời các đẳng thức sau:
\[b + \log_2 a = 0, \quad \log_a b = \frac{1}{c}, \quad \log_2 \left(\frac{b}{c}\right) = c - b.\]
Câu 3 (2,0 điểm).
Gọi \(A\) là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập \(A\), tính xác suất để chọn được một số chia hết cho 17 và có chữ số hàng đơn vị bằng 3.
Gọi \(A\) là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập \(A\), tính xác suất để chọn được một số chia hết cho 17 và có chữ số hàng đơn vị bằng 3.
Câu 4 (2,0 điểm).
Cho hàm số \(y = \frac{1}{x}\) có đồ thị là \((C_1)\) và hàm số \(y = -\frac{4}{x}\) có đồ thị là \((C_2)\).
a) Gọi \(A\) là điểm thuộc đồ thị \((C_1)\) có hoành độ bằng 1. Xác định tọa độ điểm \(B\) thuộc đồ thị hàm số \((C_2)\) sao cho \(AB\) đạt giá trị nhỏ nhất.
b) Lấy \(M\) là điểm bất kỳ thuộc đồ thị \((C_1)\) có hoành độ là \(a\) (\(a > 1\)), gọi \(N\) thuộc đồ thị hàm số \((C_2)\) sao cho \(MN\) đạt giá trị nhỏ nhất. Chứng minh rằng \(MN < AB\).
Cho hàm số \(y = \frac{1}{x}\) có đồ thị là \((C_1)\) và hàm số \(y = -\frac{4}{x}\) có đồ thị là \((C_2)\).
a) Gọi \(A\) là điểm thuộc đồ thị \((C_1)\) có hoành độ bằng 1. Xác định tọa độ điểm \(B\) thuộc đồ thị hàm số \((C_2)\) sao cho \(AB\) đạt giá trị nhỏ nhất.
b) Lấy \(M\) là điểm bất kỳ thuộc đồ thị \((C_1)\) có hoành độ là \(a\) (\(a > 1\)), gọi \(N\) thuộc đồ thị hàm số \((C_2)\) sao cho \(MN\) đạt giá trị nhỏ nhất. Chứng minh rằng \(MN < AB\).
Câu 5 (2,0 điểm).
Một khối gỗ đặc có dạng hình chóp \(S.ABCD\) với đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, mặt bên \(SAB\) là tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng \(2a\) và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy, đồng thời tam giác \(SCD\) là tam giác đều.
a) Tính độ dài cạnh \(AD\) theo \(a\).
b) Người ta muốn nối một sợi dây nằm trên bề mặt của khối gỗ từ trọng tâm tam giác \(SAB\) đến trọng tâm tam giác \(SCD\). Tính độ dài ngắn nhất của sợi dây theo \(a\).
Một khối gỗ đặc có dạng hình chóp \(S.ABCD\) với đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, mặt bên \(SAB\) là tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng \(2a\) và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy, đồng thời tam giác \(SCD\) là tam giác đều.
a) Tính độ dài cạnh \(AD\) theo \(a\).
b) Người ta muốn nối một sợi dây nằm trên bề mặt của khối gỗ từ trọng tâm tam giác \(SAB\) đến trọng tâm tam giác \(SCD\). Tính độ dài ngắn nhất của sợi dây theo \(a\).