Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán lớp 12 năm học 2026 - 2027 - Sở GD&ĐT Gia Lai
Kỳ thi diễn ra vào ngày 06/10/2026 (Ngày thi thứ nhất) với hình thức tự luận trong thời gian 180 phút, cấu trúc đề gồm 3 câu hỏi phân loại cao:
- Câu 1 (7,0 điểm): Dãy số thực xác định bởi công thức truy hồi phi tuyến, đánh giá chặn trên, chặn dưới và bất đẳng thức tổng.
- Câu 2 (6,0 điểm): Hình học phẳng thuần túy liên quan đến đường phân giác trong và ngoài, tứ giác nội tiếp, quan hệ vuông góc và chứng minh ba điểm thẳng hàng.
- Câu 3 (7,0 điểm): Bài toán tổ hợp rời rạc về việc sắp thứ tự các tập con (liên hệ mật thiết với mã Gray).
NỘI DUNG ĐỀ THI
Câu 1 (7,0 điểm)
Cho dãy số thực \((u_n)\) thỏa mãn:
\[u_1 = 2, \quad (u_{n+1} + 1)u_n = u_n\left(\sqrt{u_n} + 1\right)^2 + 1, \quad \forall n \in \mathbb{N}^*.\]a) Chứng minh rằng \(3n - 1 \le u_n < (n+1)^2, \forall n \in \mathbb{N}^*\).
b) Chứng minh rằng \(\dfrac{1}{u_1} + \dfrac{2}{u_2} + \dots + \dfrac{n}{u_n} > \ln\dfrac{n+2}{2} - 1, \forall n \in \mathbb{N}^*\).
Câu 2 (6,0 điểm)
Cho tam giác \(ABC\) không cân có \(D, E\) tương ứng là chân đường phân giác trong và phân giác ngoài của góc \(\widehat{BAC}\). Đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ADE\) cắt \(AC\) tại \(F\) khác \(A\). Giả sử \(AB\) và \(DF\) cắt nhau tại \(I\). Gọi \(J\) là giao điểm của \(AE\) và \(DF\); \(S\) là giao điểm của \(AD\) và \(EF\); \(Q\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABF\).
a) Chứng minh rằng các điểm \(A, B, D, J\) cùng thuộc một đường tròn và \(CI\) vuông góc với \(SQ\).
b) Giả sử \(AE\) và \(BF\) cắt nhau tại \(X\). Chứng minh rằng ba điểm \(C, I, X\) thẳng hàng.
Câu 3 (7,0 điểm)
Chứng minh rằng, có thể sắp tất cả các tập con của tập \(S = \{1; 2; 3; \dots; 2027\}\) thành một dãy sao cho mỗi cặp gồm hai tập con kề nhau bất kỳ chỉ sai khác đúng một phần tử (tức là một tập thu được từ tập kia bằng cách thêm hoặc bớt một phần tử nào đó).