Tài liệu: Đề khảo sát học sinh giỏi lớp 8 môn Toán năm học 2026 - 2027 trường THCS Trương Hán Siêu (UBND Phường Hoa Lư).
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề).
Đặc điểm đề thi: Cấu trúc gồm 05 câu hỏi tự luận phân hóa cao, bao gồm các chủ đề Đại số nâng cao (phân tích đa thức, rút gọn, biến đổi đại số, số học, giá trị nhỏ nhất) và Hình học phẳng (tam giác vuông, hình thoi, tính vuông góc, chứng minh thẳng hàng và tính góc).
I. NỘI DUNG ĐỀ THI
Câu 1. (4,0 điểm)
a) Phân tích đa thức thành nhân tử: \(x^3 - 19x + 30\)
b) Rút gọn biểu thức \(A = \frac{x+2}{x+3} + \frac{5}{x^2+x-6} + \frac{1}{2-x}\) với \((x \neq 2, x \neq -3)\)
Câu 2. (4,0 điểm)
a) Cho \(a, b, c\) là ba số thỏa mãn \(a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca\). Tính giá trị của biểu thức:
\[B = \frac{a+b}{c} + \frac{b+c}{a} - \frac{2026c + 2026a}{b}\]b) Cho \(9x^2 + 4y^2 = 20xy\); \((3x > 2y > 0)\). Chứng minh rằng:
\[\frac{6x - 4y}{3x + 2y} = 1\]Câu 3. (3,0 điểm)
a) Cho \(A = n^4 + 4\). Tìm \(n\) để \(A\) có giá trị là một số nguyên tố.
b) Tìm \(a, b\) sao cho \(f(x) = ax^3 + bx^2 + 10x - 4\) chia hết cho đa thức \(g(x) = x^2 + x - 2\)
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(A = 13x^2 + y^2 + 4xy - 2y - 16x + 2019\)
Câu 4. (3,0 điểm)
a) Tìm \(x, y\) nguyên thỏa mãn: \(x^2 + 2y^2 + 3xy - x - y + 3 = 0\).
b) Chứng minh rằng: \(n^3 - 3n^2 - n + 3\) chia hết cho \(48\) với mọi số nguyên lẻ \(n\).
Câu 5. (6,0 điểm)
1. Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) (\(AB < AC\)), đường cao \(AH\). Gọi \(D\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(H\). Đường thẳng qua \(D\) song song với \(AB\) cắt \(BC\) và \(AC\) lần lượt ở \(M\) và \(N\).
a) Chứng minh tứ giác \(ABDM\) là hình thoi và \(AM\) vuông góc với \(CD\)
b) Gọi \(I\) là trung điểm của \(MC\), chứng minh rằng \(IN\) vuông góc \(HN\)
2. Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) (\(AB > AC\)). Đường trung tuyến \(AO\), trên tia đối của tia \(OA\) lấy điểm \(D\) sao cho \(OD = OA\). Từ \(B\) kẻ \(BH\) vuông góc với \(AD\) tại \(H\). Từ \(C\) kẻ \(CK\) vuông góc với \(AD\) tại \(K\). Tia \(BH\) cắt \(CD\) tại \(M\), tia \(CK\) cắt \(AB\) tại \(N\).
a) Chứng minh ba điểm \(M, O, N\) thẳng hàng.
b) Trên tia đối của tia \(BH\) lấy điểm \(E\) sao cho \(BE = AD\). Chứng minh \(\widehat{DCE} = 45^0\).