Tóm tắt: Tài liệu trình bày phương pháp sáng tạo trong Toán học thông qua tổng quát hóa hình học và đại số (xây dựng phương trình đường thẳng theo dạng nội suy), cùng với định hướng về mô hình hóa toán học cho các bài toán thực tế và bài toán tổ hợp.
5. Một chút về sáng tạo trong Toán học
Trong phần này chúng ta sẽ làm quen với một trong những phương pháp sáng tạo trong Toán học, đó là phương pháp tổng quát hoá.
5.1 Thí dụ mở đầu
Ta sẽ tìm cách mở rộng một khẳng định hình học đã biết sau:
Khẳng định (I): Qua hai điểm phân biệt có thể kẻ được một và chỉ một đường thẳng.
Hiển nhiên, vì đó là một kết quả của hình học nên trước hết ta tìm những mở rộng về mặt hình học.
Mọi người đều biết, qua ba điểm không thẳng hàng có thể dựng được một và chỉ một đường tròn. Một số người với kiến thức toán học rộng hơn có thể biết rằng qua bốn điểm có thể dựng được một Parabol, còn qua năm điểm có thể dựng được một Elip. Nhưng sau đó là ngõ cụt! Ta không nghĩ ra được đường cong nào đi qua sáu điểm.
Ta sẽ tìm cách mở rộng theo con đường đại số. Ta biết rằng mọi đường thẳng không vuông góc với \(x'Ox\) đều có phương trình:
\[y = ax + b \quad (d)\]Khẳng định (I) "dịch" sang ngôn ngữ đại số có dạng (II):
Khẳng định (II): Luôn tìm được duy nhất bộ số \(a; b\) sao cho đường thẳng \((d) : y = ax + b\) đi qua hai điểm \(M(x_1; y_1); N(x_2; y_2)\) cho trước (\(x_1 \neq x_2\)). Nói cách khác, hệ:
\[\begin{cases} ax_1 + b = y_1 \\ ax_2 + b = y_2 \end{cases} \quad (1)\](ẩn \(a; b\)) luôn có nghiệm duy nhất với mọi \(x_1; y_1; x_2; y_2\) (\(x_1 \neq x_2\)).
Nghiệm của hệ (1) là:
\[a = \frac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2} ; \quad b = \frac{x_1 y_2 - x_2 y_1}{x_1 - x_2}\]Nói cách khác, đường thẳng \((d)\) có phương trình:
\[y = \left(\frac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2}\right)x + \frac{x_1 y_2 - x_2 y_1}{x_1 - x_2} \quad (2)\]Từ phương trình (2) ta rút ra được những nhận xét gì?
1) Trước hết, \(x_1 - x_2\) là biểu thức duy nhất nằm ở mẫu thức. Điều đó có nghĩa là nếu \(x_1 = x_2\) thì biểu thức ở \(VP(2)\) là vô nghĩa. Khẳng định đó phù hợp với bản chất hình học của bài toán vì khi \(x_1 = x_2\) thì \((d) \perp x'Ox\) mà ta chỉ xét những đường thẳng không \(\perp x'Ox\).
2) \(VP(2)\) là bậc nhất đối với \(y_1\) và \(y_2\). Nói cách khác, khi ta cho \(x_1; x_2; x\) những giá trị cụ thể, tuỳ ý thì (2) luôn có dạng:
\[y = A \cdot y_1 + B \cdot y_2\]trong đó, \(A; B\) là các hằng số.
Từ nhận xét này ta viết lại (2) về dạng bậc nhất đối với \(y_1\) và \(y_2\), được:
\[(2) \Leftrightarrow y = y_1 \left( \frac{x - x_2}{x_1 - x_2} \right) + y_2 \left( \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} \right) := y_1 \cdot u(x) + y_2 \cdot v(x) \quad (3)\]3) Các hàm \(u(x); v(x)\) có những tính chất sau:
- Không xác định khi \(x_1 = x_2\).
- \(u(x_1) = 1; \quad u(x_2) = 0\) và tương tự \(v(x_1) = 0; \quad v(x_2) = 1\).
6. Mô hình hoá toán học của các bài toán
Phần lớn các bài tập toán mà ta gặp đều có kết luận được phát biểu dưới dạng tường minh, tức là trong đề bài yêu cầu rõ ta phải làm gì. Chẳng hạn như phải giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức, v.v....
Tuy nhiên giả thiết của các bài tập thường được tác giả "phức tạp hoá" nhằm làm cho chúng ta khó phát hiện ra mối liên hệ giữa "cái đã cho" và "cái cần tìm", không phân biệt được điều kiện chính và điều kiện phụ, hoặc đôi khi không phát hiện được những điều kiện thừa, điều kiện gây "nhiễu".
Nhiệm vụ của người giải toán là "phát biểu lại" bài toán đã cho, làm cho giả thiết và kết luận trở nên có liên hệ với nhau và đưa bài toán cần giải về một hoặc nhiều bài toán quen thuộc, đã có thuật toán giải sẵn.
Muốn vậy, khi giả thiết của bài toán được cho bằng "lời", dưới "dạng văn học", ta phải "dịch" ngôn ngữ "văn học" của bài toán đã cho về ngôn ngữ toán học quen thuộc. Đôi khi chúng ta còn phải dùng các phương pháp đặc biệt để chuyển dạng bài toán. Chẳng hạn từ bài toán đại số về bài toán hình học hoặc lượng giác hay ngược lại.
Con đường như vậy được gọi là "mô hình hoá" bài toán đã cho. Trong phần này ta sẽ đưa ra một số phương pháp "mô hình hoá" thường gặp, chủ yếu dùng để giải các bài toán tổ hợp.
Các ví dụ và bài tập của phần này xem thêm trong tài liệu: Lý thuyết hệ thống.
6.1 Tô màu
Ví dụ 1. Chứng minh rằng trong sáu người bất kỳ hoặc có ba người đôi một quen nhau, hoặc có ba người đôi một không quen nhau.