Với các điều kiện làm cho hai vế có nghĩa, ta có công thức hạ bậc cho \(\tan^2 x\) và \(\cot^2 x\) theo \(\cos 2x\):
\[\tan^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{1 + \cos 2x}\]
\[\cot^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{1 - \cos 2x}\]
1. Chứng minh công thức cho \(\tan^2 x\):
Ta có công thức định nghĩa \(\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}\), suy ra:
\[\tan^2 x = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}\]
Áp dụng hai công thức hạ bậc cơ bản cho \(\sin^2 x\) và \(\cos^2 x\):
\[\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}\]
\[\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}\]
Thay vào biểu thức trên, ta được:
\[\tan^2 x = \frac{\frac{1 - \cos 2x}{2}}{\frac{1 + \cos 2x}{2}} = \frac{1 - \cos 2x}{1 + \cos 2x}.\]
2. Chứng minh công thức cho \(\cot^2 x\):
Ta có công thức định nghĩa \(\cot x = \dfrac{\cos x}{\sin x}\), suy ra:
\[\cot^2 x = \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}\]
Thay các công thức hạ bậc \[\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}\] \[\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}\] vào biểu thức, ta được:
\[\cot^2 x = \frac{\frac{1 + \cos 2x}{2}}{\frac{1 - \cos 2x}{2}} = \frac{1 + \cos 2x}{1 - \cos 2x}.\]