TÓM TẮT KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
- Phép thử & Không gian mẫu: Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của một phép thử ngẫu nhiên được gọi là không gian mẫu \(\Omega\). Ký hiệu số phần tử là \(n(\Omega)\).
- Biến cố: Là tập con \(A \subseteq \Omega\). Biến cố đối của \(A\) là \(\overline{A} = \Omega \setminus A\) với \(n(\overline{A}) = n(\Omega) - n(A)\).
- Xác suất cổ điển: Công thức tính xác suất của biến cố \(A\) là \(P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)}\). TÍnh chất: \(0 \le P(A) \le 1\) và \(P(\overline{A}) = 1 - P(A)\).
A. LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP
1. Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu
Phép thử ngẫu nhiên có kết quả chưa biết trước khi thực hiện. Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra gọi là không gian mẫu, ký hiệu \(\Omega\). Nếu \(\Omega\) hữu hạn, số phần tử của nó được ký hiệu là \(n(\Omega)\).
Ví dụ: Khi tung một đồng xu hai lần, quy ước \(N\) là mặt ngửa và \(S\) là mặt sấp. Ghi kết quả theo thứ tự hai lần tung, ta có \(\Omega = \{NN, NS, SN, SS\}\) và \(n(\Omega) = 4\).
2. Biến cố và kết quả thuận lợi
Một biến cố \(A\) là một tập con của \(\Omega\). Biến cố \(A\) xảy ra khi kết quả quan sát được thuộc \(A\). Các phần tử của \(A\) gọi là các kết quả thuận lợi cho \(A\). Biến cố chắc chắn là \(\Omega\), còn biến cố không thể là \(\emptyset\).
3. Biến cố đối
Biến cố đối \(\overline{A}\) xảy ra khi \(A\) không xảy ra. Với không gian mẫu hữu hạn, ta có:
$$\overline{A} = \Omega \setminus A, \quad n(\overline{A}) = n(\Omega) - n(A)$$4. Xác suất theo định nghĩa cổ điển
Nếu \(\Omega\) hữu hạn, khác rỗng và mọi kết quả sơ cấp đều đồng khả năng, thì:
$$P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)}$$Ta luôn có \(0 \le P(A) \le 1\), \(P(\Omega) = 1\), \(P(\emptyset) = 0\) và \(P(\overline{A}) = 1 - P(A)\).
5. Cách lập mô hình đếm
Chọn cách ghi kết quả sao cho các phần tử của \(\Omega\) đồng khả năng. Khi thứ tự có vai trò, ghi kết quả theo thứ tự. Khi lấy đồng thời nhiều vật và mỗi nhóm có cùng khả năng được chọn, có thể đếm bằng tổ hợp. Với yêu cầu “ít nhất một”, hãy xét xem đếm biến cố đối có gọn hơn không.
Kiểm tra trước khi tính: Viết biến cố bằng lời trước khi đếm. Kiểm tra các kết quả sơ cấp có đồng khả năng. Nếu đếm biến cố đối dễ hơn, tính \(1 - P(A)\).
B. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. Gieo đồng thời 4 con xúc xắc phân biệt, cân đối và đồng chất. Hãy xác định số phần tử của không gian mẫu của phép thử này.
Ví dụ 2. Trong một chiếc hộp có chứa 100 tấm thẻ hoàn toàn giống nhau được đánh số thứ tự từ 1 đến 100. Rút ngẫu nhiên đúng 1 tấm thẻ từ hộp. Gọi \(P\) là xác suất để số ghi trên tấm thẻ được rút ra là một số chia hết cho 4. Tính \(K = 4800P\).
Ví dụ 3. Một chiếc hộp đựng 5 viên bi màu đỏ, 7 viên bi màu xanh và 8 viên bi màu vàng có cùng kích thước. Lấy ngẫu nhiên ra đúng 1 viên bi từ hộp. Gọi \(P\) là xác suất để viên bi lấy ra có màu xanh. Tính \(K = 4000P\).
Ví dụ 4. Một lớp học có 24 học sinh nam và 16 học sinh nữ (tổng cộng 40 học sinh). Giáo viên chủ nhiệm gọi ngẫu nhiên đúng 1 học sinh lên bảng kiểm tra bài cũ. Gọi \(P\) là xác suất để học sinh được gọi lên bảng là học sinh nữ. Tính \(K = 3500P\).
Ví dụ 5. Trong một hòm phiếu bốc thăm trúng thưởng của hội chợ xuân có tất cả 50 lá thăm, trong đó có đúng 6 lá thăm trúng thưởng và 44 lá thăm không trúng. Một người tham gia rút ngẫu nhiên đúng 1 lá thăm. Gọi \(P\) là xác suất để người tham gia đó không trúng thưởng. Tính \(K = 2500P\).
Ví dụ 6. Từ tập hợp các chữ số \(X = \{1, 2, 3, 4, 5\}\), người ta lập ngẫu nhiên một số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau. Gọi \(P\) là xác suất để số tự nhiên được lập ra là một số chẵn. Tính \(K = 4000P\).