Tóm tắt nội dung: Đề thi tuyển chọn học sinh giỏi vòng II môn Toán khối THPT năm học 2026 của Sở Giáo dục và Đào tạo Tây Ninh. Đề thi gồm 04 câu hỏi tự luận phân hóa ở mức độ nâng cao với thời gian làm bài 180 phút, bao gồm các kiến thức: Đại số (Hệ phương trình, Phương trình hàm), Hình học phẳng và Số học/Tổ hợp.
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VÒNG II MÔN TOÁN THPT NĂM 2026 - TÂY NINH
Câu 1 (5,0 điểm).
Giải hệ phương trình sau trên tập số thực:
\[\begin{cases} x + y = 3\sqrt{y - 5} + 3\sqrt{x + 3} \\ \sqrt{x^2 + 6(y - x)} + 2\sqrt{xy} = 3y \end{cases}\]Câu 2 (5,0 điểm).
Tìm tất cả các hàm số \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) thỏa mãn:
\[f\left(f(x)+y\right) = f\left(x^4-y\right) + 8yf(x)\left(\left(f(x)\right)^2+y^2\right), \quad \forall x,y \in \mathbb{R}\]Câu 3 (5,0 điểm).
Cho tứ giác lồi \(ABCD\) có hai đường chéo \(AC, BD\) cắt nhau tại \(O\) và không vuông góc nhau, đồng thời hai đường chéo không vuông góc với các cạnh của tứ giác. Gọi \(d_1, d_2, d_3\) lần lượt là các đường thẳng đi qua \(O\) và vuông góc với các đường thẳng \(AB, AD, BC\). Trên đường thẳng \(d_1\) lấy một điểm \(G\) di động. Đường thẳng \(GA\) cắt \(d_2\) tại \(F\) sao cho điểm \(A\) nằm giữa \(G\) và \(F\), đường thẳng \(GB\) cắt \(d_3\) tại \(H\) sao cho điểm \(B\) nằm giữa \(G\) và \(H\).
a) Gọi \(K, L\) lần lượt là trực tâm của các tam giác \(OAD\) và \(OBC\). Gọi \((C_1), (C_2)\) lần lượt là đường tròn đường kính \(AB\) và \(CD\). Chứng minh rằng đường thẳng \(KL\) là trục đẳng phương \(\Delta\) của hai đường tròn \((C_1)\) và \((C_2)\).
b) Chứng minh khi \(G\) thay đổi, đường thẳng \(FH\) luôn đi qua một điểm cố định hoặc luôn song song với một đường thẳng cố định.
Câu 4 (5,0 điểm).
Trên bảng được viết \(2026\) số nguyên. Mỗi bước, giáo viên cho phép học sinh thực hiện thao tác như sau: Chọn ra hai số \(a\) và \(b\) bất kỳ trên bảng thỏa mãn điều kiện khoảng cách giữa chúng lớn hơn \(70\) (tức là \(|a - b| > 70\)), sau đó xóa hai số này đi và viết lên bảng hai số nguyên mới là \(\left\lfloor \frac{a+b}{2} \right\rfloor\) và \(\left\lceil \frac{a+b}{2} \right\rceil\).
(Trong đó, ký hiệu \(\lfloor x \rfloor\) là phần nguyên của \(x\), tức là số nguyên lớn nhất không vượt quá \(x\); và \(\lceil x \rceil\) là phần trần của \(x\), tức là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng \(x\)).
a) Chứng minh sau một số hữu hạn bước, quá trình trên phải dừng lại (tức là không thể tìm được cặp số \(a, b\) nào thỏa mãn điều kiện \(|a - b| > 70\)).
b) Giả sử quá trình đã dừng lại. Chứng minh trên bảng luôn tồn tại ít nhất \(29\) số có giá trị bằng nhau.