Với các điều kiện làm cho hai vế có nghĩa, ta có công thức biểu diễn \(\tan x\) và \(\cot x\) theo \(\sin 2x, \cos 2x\):
\[\tan x = \frac{1 - \cos 2x}{\sin 2x} = \frac{\sin 2x}{1 + \cos 2x}\]
\[\cot x = \frac{1 + \cos 2x}{\sin 2x} = \frac{\sin 2x}{1 - \cos 2x}\]
1. Chứng minh công thức cho \(\tan x\):
Áp dụng công thức nhân đôi \[\sin 2x = 2\sin x \cos x\] và \[\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x = 2\cos^2 x - 1\] ta có:
\[\frac{1 - \cos 2x}{\sin 2x} = \frac{1 - (1 - 2\sin^2 x)}{2\sin x \cos x} = \frac{2\sin^2 x}{2\sin x \cos x} = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x.\]
\[\frac{\sin 2x}{1 + \cos 2x} = \frac{2\sin x \cos x}{1 + (2\cos^2 x - 1)} = \frac{2\sin x \cos x}{2\cos^2 x} = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x.\]
2. Chứng minh công thức cho \(\cot x\):
Tương tự, ta có:
\[\frac{1 + \cos 2x}{\sin 2x} = \frac{1 + (2\cos^2 x - 1)}{2\sin x \cos x} = \frac{2\cos^2 x}{2\sin x \cos x} = \frac{\cos x}{\sin x} = \cot x.\]
\[\frac{\sin 2x}{1 - \cos 2x} = \frac{2\sin x \cos x}{1 - (1 - 2\sin^2 x)} = \frac{2\sin x \cos x}{2\sin^2 x} = \frac{\cos x}{\sin x} = \cot x.\]