Chuyên đề Ba Đường Cônic (Elip, Hypebol, Parabol):
- Hệ thống hóa định nghĩa, phương trình chính tắc và các yếu tố hình học cơ bản (đỉnh, tiêu điểm, tiêu cự, trục đối xứng, tâm sai, đường chuẩn).
- Phương pháp giải dạng toán cơ bản: Xác định các yếu tố đặc trưng của đường cônic từ phương trình chính tắc đã cho.
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. ĐƯỜNG ELIP
a) Định nghĩa: Cho hai điểm cố định và phân biệt \(F_1, F_2\) với \(F_1F_2 = 2c > 0\) và số thực \(a > c\). Tập hợp các điểm \(M\) sao cho
\[MF_1 + MF_2 = 2a\]được gọi là đường elip. Hai điểm \(F_1, F_2\) gọi là hai tiêu điểm và khoảng cách \(F_1F_2 = 2c\) là tiêu cự của elip.
b) Phương trình chính tắc: Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), elip có hai tiêu điểm thuộc trục hoành sao cho gốc tọa độ \(O\) là trung điểm của \(F_1F_2\) có phương trình chính tắc:
\[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad (a > b > 0 \text{ và } b^2 = a^2 - c^2)\]c) Tính chất và hình dạng:
- Trục đối xứng: \(Ox, Oy\); Tâm đối xứng: Gốc tọa độ \(O\).
- Tiêu điểm: \(F_1(-c; 0), F_2(c; 0)\) với \(c = \sqrt{a^2 - b^2}\).
- Tọa độ các đỉnh: \(A_1(-a; 0), A_2(a; 0), B_1(0; -b), B_2(0; b)\).
- Độ dài các trục: Trục lớn bằng \(2a\), trục bé bằng \(2b\).
- Nội tiếp trong hình chữ nhật cơ sở có kích thước là \(2a\) và \(2b\).
- Tâm sai: \(e = \frac{c}{a} < 1\).
- Phương trình các đường chuẩn: \(x = \frac{a}{e}\) và \(x = -\frac{a}{e}\).
- Bán kính qua tiêu: Với mọi điểm \(M(x; y) \in (E)\), ta có:
- Bán kính qua tiêu điểm trái: \(MF_1 = a + ex\)
- Bán kính qua tiêu điểm phải: \(MF_2 = a - ex\)
2. ĐƯỜNG HYPEBOL
a) Định nghĩa: Cho hai điểm phân biệt cố định \(F_1, F_2\) với \(F_1F_2 = 2c\) và số thực dương \(a < c\). Tập hợp các điểm \(M\) sao cho
\[|MF_1 - MF_2| = 2a\]được gọi là đường hypebol. Hai điểm \(F_1, F_2\) là hai tiêu điểm và \(F_1F_2 = 2c\) gọi là tiêu cự.
b) Phương trình chính tắc: Trong hệ tọa độ \(Oxy\), hypebol nhận \(Ox\) làm trục tiêu cự, \(O\) là trung điểm của \(F_1F_2\) có dạng:
\[\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad (a > 0, b > 0 \text{ và } b^2 = c^2 - a^2)\]- Hai tiêu điểm: \(F_1(-\sqrt{a^2 + b^2}; 0), F_2(\sqrt{a^2 + b^2}; 0)\).
- Tiêu cự: \(2c = 2\sqrt{a^2 + b^2}\).
3. ĐƯỜNG PARABOL
a) Định nghĩa: Cho một điểm cố định \(F\) và một đường thẳng cố định \(\Delta\) không đi qua \(F\). Tập hợp các điểm \(M\) cách đều \(F\) và \(\Delta\) được gọi là đường parabol.
- \(F\) gọi là tiêu điểm, \(\Delta\) gọi là đường chuẩn.
- Khoảng cách từ \(F\) đến \(\Delta\) gọi là tham số tiêu của parabol, kí hiệu là \(p\).
b) Phương trình chính tắc: Chọn hệ tọa độ \(Oxy\) với \(O\) là trung điểm đoạn vuông góc kẻ từ \(F\) đến \(\Delta\), tia \(Ox\) trùng với tia hướng từ \(\Delta\) sang \(F\):
\[y^2 = 2px \quad (p > 0)\]- Tiêu điểm: \(F\left(\frac{p}{2}; 0\right)\).
- Đường chuẩn: \(\Delta: x = -\frac{p}{2}\) hay \(x + \frac{p}{2} = 0\).
B. MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ BA ĐƯỜNG CÔNIC
DẠNG 1. XÁC ĐỊNH CÁC YẾU TỐ CỦA ĐƯỜNG CÔNIC
Câu 1: Tìm tọa độ các đỉnh, độ dài các trục, tiêu cự, tiêu điểm, tâm sai của elip:
\[(E): \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{1} = 1\]Từ phương trình của \((E)\), ta có \(a^2 = 4 \Rightarrow a = 2\) và \(b^2 = 1 \Rightarrow b = 1\).
Suy ra \(c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{4 - 1} = \sqrt{3}\).
- Tọa độ các đỉnh: \(A_1(-2; 0), A_2(2; 0), B_1(0; -1), B_2(0; 1)\).
- Độ dài trục lớn: \(A_1A_2 = 2a = 4\).
- Độ dài trục bé: \(B_1B_2 = 2b = 2\).
- Tiêu cự: \(F_1F_2 = 2c = 2\sqrt{3}\).
- Tiêu điểm: \(F_1(-\sqrt{3}; 0)\) và \(F_2(\sqrt{3}; 0)\).
- Tâm sai: \(e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{3}}{2}\).
Câu 2: Cho hypebol \((H): \frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1\). Xác định toạ độ các tiêu điểm của \((H)\).
Phương trình \((H): \frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1\) có \(a = 4, b = 3\).
Suy ra \(c^2 = a^2 + b^2 = 4^2 + 3^2 = 5^2 \Rightarrow c = 5\).
Do đó, tọa độ các tiêu điểm của hypebol đã cho là: \(F_1(-5; 0)\) và \(F_2(5; 0)\).
Câu 3: Cho parabol \((P)\) có phương trình chính tắc \(y^2 = \sqrt{3}x\). Tính khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn của \((P)\).
Phương trình chính tắc của parabol có dạng \(y^2 = 2px\), do đó:
\[2p = \sqrt{3} \Rightarrow p = \frac{\sqrt{3}}{2}\]Tiêu điểm: \(F\left(\frac{\sqrt{3}}{4}; 0\right)\), đường chuẩn: \(\Delta: x + \frac{\sqrt{3}}{4} = 0\).
Khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn chính bằng tham số tiêu \(p\):
\[d(F, \Delta) = p = \frac{\sqrt{3}}{2}\]